Zur Joachimsthalschen Lósimg des Normalenproblems. 3 



íingehoren werdeii, desseii Basispímkte d, c\ sich als Sclmittpunkte 

 der Ellipsentangente des Punktes t — wobei infolge II. a t normál 

 auf D zu fallen ist — mit dem durch a gelienden Scheitelkreise K 

 ergeben. 



Die Mittelpunktsgerade des Biischels ist die von m auf cř d^ 

 gefállte Senkrecbte A und es entspricbt einem jeden Punkte p aut" 

 D ein einziger Puukt jt auf A? í^ls Mittelpunkt des zugehorigen das 

 Normalenproblem von p losenden Kreises C. 



Umgekehrt ist dies aber nicht der Fall. 



Denn betrachten wir zwei auf D liegende vom Ellipsenmittel- 

 punkte m gleichweit abstehende Punkte p, p^, so sind die Ellipsen- 

 normalen von p zu jenen von jp^ parallel und somit lost der dem 

 Punkte p zugeborige Kreis C, mit dem Mittelpunkte jt, das Normalen- 

 problem sowohl fiir p als auch fůr p^. 



Einem Punkte n von A entspricbt daher ein Punktepaar p, p^ 

 auf D, aber einem Punkte p auf D nur ein einziger Punkt tt auf A- 



Die Punktreihen A? D stehen also in ein — zwei — deutiger 

 Beziehung, oder sie sind ein — zwei — deutige Gebilde.^) 



Wáhlen wir insbesondere m und den unendlich fernen Punkt 

 von D als Lagen des Punktes p, so gelangen wir zu dem Kesultate, 

 dass sich die beiden Pteihen A und D hier in reducirter Lage be- 

 finden, daher die Verbindungslinien entsprechender Punkte einen 

 Kegelschnitt it umhtillen werden, welcher, da er die unendlich ferne 

 Gerade seiner Ebene zur Tangente hat, eine Parabel sein muss. 



Diese Parabel beriihrt den Tráger D der zweideutigen Reihe 

 in m, wáhrend jener A der eindeutigen Reihe hier ein Durchmesser 

 von R ist. Zur vollstándigen Bestimmung der Parabel geniigt also 

 noch eine Tangente. Um diese zu erhalten, betrachten wir den End- 

 punkt c des Durchmessers D als Lage des Punktes p. Fiir diesen 

 Punkt ist N eine von den vier durch ihn gehenden Ellipsennormalen 

 und hiedurch ein (dritter) Punkt g des dem Punkte c zugehorigen 

 Kreises C direct gegeben. g ist námlich der zweite Schnittpunkt der 

 von a auf N gefállten Senkrechten mit der Ellipse 2J und wir erhalten 

 denselben, indem wir (siehe die Figur) a^ g parallel zu m c ziehen. 



Die Verbindungsgerade des Mittelpunktes y, des durch die drei 



') Hier verweise ich auf Em, Weyk's verdienstvolle Schrift: „Theorie der 

 melirdeutigen geometrisclien Elementargebilde" Leipzig 1869, die zu den hervor- 

 ragendsten Leistungen dieses geiiialeu und in so vielfaclier Hinsicht bahnbre- 

 cbenden, uuvergesslicben Geometers gebort, dessen frliber hochst bedauerlicher 

 Tod im luteresse der geom. Forschung tief beklagt werden mass. 



