2 XXV. C. Kiipper: 



Gruppenpuncte auf, und ihre Mannigfaltigkeit : p — 1 — Q -f 2 gibt 

 die Beweglichkeit r der Eestgruppe an, so dass man hat : r = jj — 1 



Ti Q 



— Q + 9', oder r ^ — 3 = — 9'~ ^' ^^^^ ^^ — ^ — Q^R. Weil in 

 G^^ nie mehr als Q — q_ Puncte existiren in normaler Lage gegen 

 C"-^, so folgt : Nimmt man Q — q-\~l Puncte auf C^ normál ftir 

 (7«-3 an, so konnen diese kelner Gruppe einer etwa moglichen 

 Gq\ angehóren. Oífenbar erheischt dies, dass Q — q ^ 1 grósser sei 

 als q; mithin muss 



g^y • • n. 



Da ferner Q liochstens 2p — 2 sein kann, so muss: q^^p — 1. 

 Haf Q — q seinen grossten Werth p — 1, so lassen sich immer p — 1 



normál gegen C^~^ liegende Puncte a als hestimmende fur eine g^^ an- 

 neJimen: Eine durch die a gehende C'*~^ schneidet noch in p — 1 

 anderen Puncten a die Grundcurve: Aucli diese sind normál fiir ihre 

 C**"^, wie sofort aus I. erhellt. Nun nehme man von den a beliebige 

 q heraus {q^^p — 1); durch die tibrigbleibenden a gelien cxd? Curven 

 (7*1-3^ welche die verlangte G^^ ausschneiden : G^ besteht aus allen 

 a und den q ausgewáhlten a. 



Es geht aus dem Vorstehenden klar hervor, dass von einer 

 Gruppe G'^'' hochstens Q — q Puncte willkiihrlicb, also auch normál 

 gegen C'*"-^ gewáhlt werden konnen, und, dass dies immer gestattet 

 ist, falls Q — q^=p — 1, aber fraglich bleibt fitr Q — q<.p — 1- 

 Wir werden erkennen, dass bei einer speciellen Gattung von Curven, 

 námlich bei den hyperelliptischen, und nur bei diesen die ivillJcuhrliche 

 Wahl von Q — q bestimmenden Puncten statthaft ist, 



2. Der hí/perelUpfische Foli. 



Allgemein gilt fiir jede g^^^ entweder 3 = -^, oder 2 < -p • (H) 

 Gesetzt es sei fiir irgend welche Werthe g^, Qi : ^i = -^ < j? — 1, dann 



behaupte ich, dass (bei voliér Beweglichkeit) nur g =: -ň- sein kann, 



und dass die C^ hyperelliptisch sein muss. 



Beweis. Wáre 9^=1, daher Q-^=:2; so bestánde kein Zweifel 

 an dem hyperelliptischen Charakter der Grundcurve, denn es miisste 



