^-gonale Curven O" n^cr Ordnung vom GescMecht p. 



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jede durch eineu beliebigen Punct a gehende C"-^ einen mitbestimmten 

 a enthalten. Wáhlt man dami irgend ivelche q Pimcte a normál gegen 

 C'^~^, so sind dadurch andere q Puncte a hestimmt, und es hilden 

 diese 2q Pimcte ziisammen ersichťlich eine G^'^\ Wir werden zeigen, 

 dass wenn g'^ !> 1 auch eine g^^^ bestehen muss. 



Zuvor ist zu beacliten, dass durch q beliebige normál liegende 

 Puncte a nicht mehr als q andere a mitbesthnmt sein konnen, weil 

 man sonst eine Schaar erhielte von einer grósseren Beweglichkeit, 

 als die halbe Punctzahl. 



Es seien jetzt durch q^<.p — 1 Puncte a ebenso viele a be- 

 stimmt, so dass G'^^^^ vorliege. leh werde darthun, dass, wenn man 

 q■^ — 1 der a herausnimmt, wobei a^ iibrig bleibt, und durch diese 

 ihre C"-^ legt, alle diese C"-^ noch q^ — 1 Puncte a aufnehmen. 



Man fiige den a {q^ — 1) einen von a^ verschiedenen Punct b 

 zu, der mit jenen eine neue normále Gruppe von g, Puncten liefert. 

 Dann sind wieder ebenso viele Puncte x mitbestimmt. Kamen nun 

 unter den x nicht q^ — 1 Puncte a vor, so hatte man in den x zu- 

 sammen mit den « mehr als íi + l Puncte und nur dann qi-\-l, 

 wenn unsere Behauptung eintrifft. 



Hiernach gingen die C"^-'"^, welche die a (inclusive a^) und 

 b enthielten, durch mehr als qi-\-l feste Puncte (die a und x), 

 was nicht moglich ist. 



Man wird leicht einsehen, dass die a ebenfalls normále Lage 

 gegen ihre C'^~^ haben. Demnach konnen die x auch nicht mit den a 

 einerlei sein, da sonst die durch alle a gehenden C"-^ ausser allen 

 a noch b aufnehmen miissten, also qi~\-l Puncte. So erlangen wir 

 den wichtigen Satz: 



„Eine (rg^'"* umschliesst eine G^^.'-''^^. u. s. /., folglich G[^^ und 

 C muss hyperelUptisch sein; ihre voli beweglichen Specialgruppen sind 

 stets G'.f von denen 2q — 3 = 2 Puncte ivillkulirlich sind^', wodurch 

 die Gruppe bestimmt ist. 



3. Im Folgenden wird C" als nicht hyperelliptisch vorausgesetzt, 

 2? > 2. Fiir jede denkbare G^^ hat man demnach 



3 < g- oder Q — q'>q. 



Wenn durch gewisse X<^p — 1 Puncte a andere a mitbestimmt 

 sind, so ist deren Anzahl X'<.X und stellen die X-\-x Puncte eine 



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