^■-goiiale Cnrvcn O^, ?i<er Ordnung vom fíeschlecht p. 7 



I Beweis. 



Es erscheint nutzlicli, zunáchst clen umgekehrten Satz herzu- 

 leiten „Eine C" mit n — Z;-facliem Puncte F, ohne anderen vielfachen 

 Punct ist eine Avgonale C" ", Das Geschlecht der vorliegenden C" ist 



^ — ^^ ^^ und stimmt, wie leicht zu selien, 



mit Pi (III.) iiberein. Da eine C"-^-^ den V zum n — 7c — 1-fachen 

 Punct hat, so zerfallen diese Curven in n — ^ — 1 Gerade, so dass 

 die Mannigfaltigkeit ^ derselben = n — Je — ■ 1 ist, mithin gleich der 

 minimalen ^q ausfállt. Hiilt man nun n — k — ^2 dieser Geraden fest 

 {n — Je — l>-0 hat ja n — Je — 2^0 zur Folge), so schneidet die 



um V bewegliche Gerade die mogliche g^^^ aus. — Um jetzt nnsere 

 Behauptung zu begriinden, sei 



a) n — Je — 1 = 1, n — Je=z2; also p^ ziz n{n — 3) — ^— 



= ^ — 1 . Gemáss dieses Werthes fiir p^^ muss aber 



C^^ einen Doppelpunct haben, w. z. b. w. 



b) n — Je — 1^2. 



Hiitte C^' keinen n — Je^-hdien Punct, so miisste sie wegen 

 ihres Geschlechtes p^ wenigstens zwei vielfache Puncte von niederer 

 Ordnung haben, etwa 



V, (Je, > Ifach), V^iJe. > Ifach). 



Alsdann liesse sich g^^^ sowohl durch Gerade, die V, enthalten, 

 als auch durch solche ausschneiden, welche K enthalten. 



Denn zieht man L, beliebig durch V, , so gibt es eine C"~*~\ 

 welche Z^ zum Bestandtheil hat. Man braucht nur n — Je — 1 will- 

 kiihrliche Puncte von L^ zur Bestimmung dieser C^~^~^ anzunehmen, 

 so muss dieselbe, da sie F, wenigstens einfach enthalt, L^ als Theil 

 besitzen und zerfallen in L^ und eine theilweise adjungirte C^~'~^. 



Diese letztere liefert mit jeder durch Fj gehenden Geraden L 

 eine adj. C^-^-^; folglich fallt auf eine solche X, die nach einem auf 

 C^^^ beliebig gewahlten Puncte a gezogen wird, die Gh , zu welcher a 

 gehort. Dasselbe wiirde gelten fiir die Verbindungslinie a F, , und da 



