Z'-gonale Ciirven C^ n^er Ordnung vom Geschlecht p. 9 



Erstens. ^i gibt an, me viele Gruppen Gh auf einer (7»-*-i sich 

 befinden, Nimrat man nilmlicli ^i Puncte a. auf C" an, durch welche 

 eine C«-*-i hesthmnt ist, so geht diese Curve noch durch ^iji — 1) 

 mitbestimmte Puncte a, enthalt also ^i verschiedene Gruppen. Ent- 

 hielte sie eine Gruppe mehr, so gingen durch jene ^ wenigstens 

 ooi Curven C-^-^ (Restsatz), was gegen die Annahme, ^ sei die 

 factische Mannigfaltigkeit der (7"-*-^, verstosst. 



Zíveitens. Beim Maximalgeschlecht fand sich: 



^zzz ^Qz:zn — h — 1, 



weil die C"-*-^ bestehen aus n — h — 1 variablen Strahlen des 

 Buschels (V). 



Ist aber p=:p^ — ď, cJ" > O ; í^o — ** — ^ — 1 — ^5 so zeigt sich 

 dass man hat řt > /*o ? **^^^ Ausnahme eines einzigen Falles^ den 

 wir sogieich erledigen werden. 



Stets ist jedoch ii<,n — h — 1. Denn berechnet man aS', die 

 Anzahl einfacher Schnittpuncte von C"-*-^ mit C* , so kommt 

 S HZ Tci^ti — h — 1) — '2d\ Da nun (Erstens) ^ ^ A; . /i, so folgt 

 ^i<Cn — k — 1. 



„Z>/e Gleichheif ;* =: ft^ findet dann, und nur dann sfatt, ivenn 

 C^ einen n — k-fachen Punct (V) und uberdies & Doppelpuncfe (D) 

 hesitd. 



Zum Beweise bediirfen wir die minimale Mannigfaltigkeit ft, der 

 adj. C«-*: 



fti = jPj — ó — 1 — (7í — 3> + y (^ — 3)^ = 2>ř — 2^ — ď, 



oder 



f*i = ř*o + »* — ^ + 1- 



L sei eine Gerade, welche die Gruppe G^l^ trágt. Damit eine 

 C"-* diese i zum Bestandtheil hábe, geníigt, dass sie durch n — 2^-|-3 

 Puncte der L gehe, wenn 2 dieser Puncte der 6^^^^ angehoren; denn 

 dann hat C''~^ mit L im Ganzen n — 21^ -\-^-\-h — 2rzw — h-^-l 

 Puncte gemein. Wenn nun L keinen vielfachen Punct der C^ enthalt, 



so existirten wenigstens oo'^*~'^^' " ' 'z=z oo^" ' " Curven C"-^~\ 

 also mehr, als cof o , was der Annahme widerspricht. Kommt hingegen 

 auf L ein ^*j-facher Punct der C* vor, so behaupte ich, h^ muss 

 =.n' — Ti. Es ist zweifellos, dass unter den Geraden, welche die oo^ 



