24 XXXiX. Franz Rogel: 



W> 1 



wo sich die Factorenfolge linker Hand auf sammtliche ungerade Prim- 

 zalen erstreckt. 



Durch Multiplication der Reilie fiir ®{x) mit einer Sinusreihe, 

 wird sich, wenn die íntegration zwischen O und n zulassig ist, auf 

 diese Weise immer eine Factorenfolge ableiten lassen, die bei abso- 

 luter Convergenz in eine andere transformirbar ist, welche nach Prim- 

 salen fortschreitet. Die als Exponenten der p sich ergebende Doppel- 

 reihe ist jedoch selten sumniirbar. Ira Nachfolgenden gelingt es fíir 

 dieselbe eine einfache Reihe zu erhalten. 



Wird 



n cos [IX _ 1 , cos X cos 2x _, cos 3x 



2ít šiňř^ ~ 2p ^ r- — [i' ~~ 2"' — ft'^ ~^ W- — {i^ ' 



■ — ^'~^'~~\~^i í* gebrochen, 

 zwischen O und x integrirt, so kommt 



7c sin {.IX X I sin x sin 2x ^^ sin ox 



2{i^ sin [i7t ~ 2í*^ ' 1(1 2 — ft^) 2(2'^ — [i'') ' 3(3' — ft'^) * ' ' ' ' 



TC-^X^-^Tt, 0<;ft^l, 



welche Reihe mit jener fiir ®{x) multiplicirt eine fiir O-^x-^Tt 

 giltige Reihe ergiebt; es ist dann 



• --^—. / j sin ax — -r—i ®(x)dx =: 



{i^sm^mj \ ^ 2u'i ^ ^ 



log I 



.=-4... ''■<'' -f'' 



= log.J7";i^"(^'-''')EEExp Q. 



A = 2,3... 



Wenn nun diese comnmtative Factorenfolge nach Primzalen ge- 

 ordnet wird, so erhiilt die beliebige Primzal p den Exponenten 



1 _ + _!_ + .... 



p\p'' — ii'') 2/(2/ — í*') 



2 2__ 



,-J\ I 0'i_-}/C)2.,4 ..■1\ F 



p\p'—ii-) ' 2yX2j)'' — ii-) 



