NOOVO SISTEMA l'EIt DLFVARE IìK ACdCE 75 



Elevando a quadralo e sviluppando, si ha 



dif {jf- -\- y- iv'') = (j- ds- ==■ (f dx- -\- (f- dìf\ 

 cioè 



zo* y"- , d\f =^ g- , dx-, e gdx = iv- ydy; 

 ed integrando sarà 



*■ = 2^ «/' + »» (1) 



in cui m rappresenta una costante da determinarsi. Questa sarà dunque l'equazione 

 della curva generatrice della superficie superiore del liquido, e, come si vede, essa 

 appartiene ad una parabola che ha il vertice sull'asse delle x e distante dall'origine 

 delle coordinate, cioè dal fondo del vaso, per la quantità m. 



Questa quantità varia a secoada della velocità di rotazione e della forma del vaso, 

 non che dell'altezza primitiva del liquido entro il vaso stesso. 



Per determinarne il valore cercheremo prima quale sarà l'altezza AG, a cui perverrà 

 il liquido all'orlo estremo. Basterà combinare l'equazione (1) con quella della curva 

 generatrice del vaso, la quale supporremo x=f{y), ed avremo 



Risolvendo questa equazione avremo per y un valore che ci rappresenterà la GD , 

 cioè la y del punto d'incontro delle due curve, e sostituendolo nell' equazione (1), 

 avremo il valore di x o AG. Si l'uno che l'altro dei due valori non possono essere 

 per uno stesso vaso che funzioni di tu, g ed m; vale a dire di w solo, perché g è 

 costante, ed m è essa stessa una funzione di iv. 

 Posto ciò, siccome un volume di rotazione, l'asse del quale sia quello delle x, è 



ugnale ■^ J y'^ dx, quello generato dalla parabola BCmD sarà 



2_7rg 



*(ì /^ 2 Trd I ^~ \ 7t (1 



yJ dx {x — m) = — ~ \— mx\ + C = —{x"^ — 2mx) -\- C ; 



e preudendo questo integrale nei limiti di x = m ed a;^A6, e chiamando n que- 

 st'ultima altezza, si otterrà pel volume della calotta parabolica generata dalla BCD 

 la formola 



^ (n^ — 2 mn — m^ + 2m-) = ^ (n — mf (2). 



