138 SULLA RIFRAZIONE 



Facciamo inoltre 



[7] iJ = cos r — cos r , 



[8] Z=y i&nu-\-cos^s ; Z'^^\ i&uu -\- cos :3 



dalla [5] risulterà 



kZ-k'Z'::=B , 



per cui facciamo altresì 



kZ+k'Z'=U ; 

 cosi saranno 



[9] Z=E±I Z-^=^, 



e dalle [8] si avrà l'equazione di secondo grado in U 



{u+Ey . (U-Ry 



■ cos ^ = , — cos .:■ 



colle radici reali 



k'+k'^ 2kk ,/-; r ,, ,-, ~ 



U=— T-^"^— Ti\B -^{k'-k ) (cos^^ - cos'^) , 



k — k k — k 



sostituendo questa espressione nella [9] ed abbandonando il segno meno' del radicale 

 perchè con tal segno Z' risulterebbe negativa , si hanno le quantità reali 



kR+k'\'B"-^ jk"- k'^) (cos'g- cos'^') 



[10] , , , , 



i k'R-^k\ R'+{k''-k: ) (cos' s- cos' s) 



Z 7I~~77» ' 



\ ' k —k 



con ciascuna delle quali si deriva dalle [8] la formola 



)i?'+ (Z;'— Z;' ){Jì cos'/ — /c'cos'^) 



1 I / (/j'+Z;'')E^ 

 -''' y +2kk'R]/R^- 



[11] . . . tan« = - 



k-ic t/ , o 7. 7.' -D 1/ 7? ^_,_ (/.^_ j^' ) (cos' .-'- cos' 3) 



Allorché ^=90" la [11] si riduce alla seguente (Nota 5) 



, ,, kR-hk'\/R'+{k''-k' jcos'/ 

 1 11 tanM= j , 



siccome si vede anche subito per la prima delle [8] , la quale, essendo in tal caso 

 cos ^; = , si riduce a tan u = Z. 



Kisulta dalla [8] e [10] che il valore di n dato dalla [4] è sempre reale, 

 e la [11] mostra che la u può diventare immaginaria , perchè può darsi che 

 sia k' cos z <ik cos z , e che il termine di mezzo del radicale , il quale sarà in tal 

 caso negativo . superi in valor numerico la somma degli altri due termini , entrambi 

 positivi 



