En en 
( 564 ) 
Le deuxième chapitre (22 pages) est moins intéressant 
que le premier. L'auteur s'y occupe, dans plusieurs para- 
grap phes et sans que rien semble l’y forcer, d’une série 
voisine de celle de Lambert, obtenue en multipliant chaque 
terme de celle-ci par l’exposant de la puissance de x qui 
y entre. Il rencontre, à propos de cette nouvelle série M(x), 
le théorème d'Euler signalé par M. Catalan dans son 
rapport, en rappelle les conséquences arithmétiques et 
enfin exprime ‚jn (x) au moyen du quotient de deux inté- 
grales définies compliquées. 
Il revient ensuite à Ç(x), l'obtient d’abord sous forme 
d’une intégrale définie très compliquée aussi el très peu 
maniable, puis sous forme d’une série nouvelle très 
convergente, enfin comme quotient de deux séries. Ce 
dernier résultat suggère cette question assez intéressante : 
n’y aurait-il pas moyen de mettre £(x) sous forme de 
fraction continue ? 
Pour terminer, l'auteur cherche empiriquement les 
cent soixante premiers termes du développement de £ (x) 
multiplié par tous ses dénominateurs, mais sans pouvoir 
établir mathématiquement la loi de formation des coeffi- 
cients de cette série, ni les conséquences arithmétiques 
qui s’en déduiraient, si elle était prouvée d’une manière 
absolue. 
_ Comme on le voit, l’auteur du mémoire n° 4 est un 
analyste intrépide, qui ne recule devant aucun calcul, si 
long soit-il; c’est aussi un analyste soucieux de la rigueur, 
car il a établi avec le plus grand soin les propositions 
een du début de son mémoire, et ailleurs, là même 
où il n'a pu réussir à atteindre le but poursuivi, il à 
indiqué avec précision ce qui reste à démontrer pour y 
en ae S'il a été moins clair dans ce qui touche à la 
