( 2*9 ) 



fications on ties perfeclionnemenls successifs des deux 

 melhodes imaginees par Cauchy pour aborder I'etude des 

 lonclions detinies par des proprieles de leurs derivees (*). 



On peut se poser, a propos des equations differenlielles, 

 une question analogue a celle qui a ete resolue par 

 Riemann pour les expressions de la forme fxdx, quand fx 

 est une certaine fonction discontinue : Ne peut-on pas 

 etendre a ces equations la notion d'integrabilite, dans le 

 cas ou les fonctions qui y entrent sont discontinues? C'est 

 a cette question que vient de repondre d'une maniere 

 remarquable notre jeune collegue de Louvain, dans 

 rimporlanl memoire qu'il a soumis a I'appreciation de la 

 Classe el donl nous allons faire une analyse detaillee. 



Le travail de M. de la Vallee Poussin est divise en deux 

 parlies, Tune consacree a une equation differenlielle 

 unique y' ==/(«,//), a deux variables, l'autre,a un systeme 

 d'equations differenlielles simultanees . La melhode 

 exposee dans la premiere partie s'etend si naturellement 

 a la seconde, — et ce n'est pas un des moindres merites 

 de celle melhode, — qu'il suffit que nous la fassions 

 connailre pour donner du meme coup une idee exacle de 

 la marche suivie dans la theorie de l'integrabilite des 

 equations simultanees. 



2. Theoreme fondamental. Soil f{x,y) une fonction tou- 

 jours finie dans une certaine aire T, et soient A la limile 

 superieure et — a la limite inferieure de f, dans T; tou- 



l'enumeralion de c 



ous avons publico dans les Annates de 



txellcx, 1891, t. XVI, premiere partie, pp. 32-37 ct C 



Nachtrag I de noire Theorie cler partiellen Di/Tercntii 



, etc. (Berlin, Springer, 1892), pp. 26-30). 



