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lefois si la limite superieure est negative, nous suppo- 

 sons A = 0, el si la limite inferieure est positive, nous 

 faisons a = 0. Prenons, a i'interieur de I'aire T, un rec- 

 tangle doot les cdles soient determines par les abcisses x Q 

 et X el par les ordonnees 



t, -a(X-* ), y.-AfX-*.). 



Cela fait, parlageons I'lntervalle X — x en un nombre 



arbritraire n de parlies par les valeurs x , x lf ... , x kt ... , 



a;„ = X; a chaque abcisse x k , nous ferons correspondre 



deux ordonnees Y 4 et y k delerminees par les deux soinmes 



Y k = y + MA + MA + ... + MA = Y*_, + MA, 

 yi. =yo + m A ■+- m & ■+• - -*■ mA — y*_, -»- »?A 

 ou (5 A == ar t — x t _^ M k el m k sont respectivement les 

 limites superieures et inierieures de f{x } y,) dans la region 

 R* limilee par les abcisses x k _ t et x k el les ordonnees 

 Sf 4 _, — a k $ k , Y t _ t -f-A t ^; A* est une quantite finie, fonclion 

 de A, superieure a A,et,par suite, a tousles M;a est aussi 

 une quantite fonclion de k, superieure a a, et, par suite 

 — a t est inferieure a tous les m. 



L'auteur etablil d'abord que toute region R* est com- 

 prise a Tinterieur de T, et cela sans qu on soil force de 

 faire croitre n in.leliniment (P). 



II prouve ensuite que si Ton subdivise X — x , d'une 

 seconde maniere, en parties suflisamment petiles, les 

 somraes Y'„ et y' % , relatives a ce second mode de subdivi- 

 sion, sont lelies que Ton a 



Y: < y n + n\«, y' H> y n -na«, 

 a etanl choisi suflisamment petit (Q). 



