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II deduil de la que Y,',, y' n onl pour limile des quantites 

 Y, y bien delerminees, quand les iniervalles <5 4 lendent 

 vers zero d'une maniere quelconque (R). 



Cette proposition (R) est le iheoreme fondamental <le 

 M. de la Vallee Poussin, pour un systeme determine de 

 n ombres fixes A*, a*. 



II prouve alors que Ton trouve les memes limites Y et y 

 pour Y„ et y H , si Ton remplace lous les nombres A t , a k 

 par <Ta litres proportionnels, plus pelits, mais cependant 

 respeclivement superieurs a A et a (S). 



II en est de meme si A A , a k sonl des nombres variables 

 dequelque maniere que ce soil, pourvu qu'ils restenl tinis 

 et toujonrs superieurs a A A el a k (T). Le theoreme fonda- 

 mental est ainsi elabli sous la forme la plus generate. 



Le chapilre qui est consacre a celle imporlante proposi- 

 tion.se termine par une remarque souvent ulilisee dans la 

 suite et tre*> facile a etablir direelement, sans recourir aux 

 ealculs, assez penibles a suivre, qui servent a prouver les 

 theoremes Q el S : Dans le cas oil le calcul des regions 

 R t se fail en employant des nombres invariables A* = B, 

 a k = b el par subdivision indefinie deX — x$ el de 

 ses parties successives, Y M decroit et y n croit sans cesse, et 

 ces variables ont, par suite, des limites Y et y lelles que 



Y„>Y>y>iUU)0. 



3. Transformation de la difference Y„ — y n . Le cas le 

 plus important a considerer est evidemment celui ou 

 Y — y et, par suite, lim (Y. - y n ) = 0. Pour voir 

 quand celle circonslance se. presente, Pauleur se place 



le toutc !a thcoric par cettc p 

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