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 <lans les hypotheses du theoreme (U), ce qui est permis. 

 II parvient, par des calculs ingenieux, a meltre Y„ — y„ 

 sous les deux formes suivanles, ou M designe la limite 

 superieure de f y {x, y), derivee supposed existanie : 



y M _ y n ^ U + 6)Ar + ! Ta^xI [<r + £\7?, - l] 



§x est la n 4me parlie de X — x ; p, i 

 positive quelconque; A, x , roscillalion maxima de /", dans 

 R,., quand x varie seul; A,,, I'oscillation maxima analogue 

 quand ?/ varie seul ; Sy t = Y, — y t . 



Si 1V1 est nul, c'est-a-dire si f est fonclion de x seul, 

 1'auteur retrouve la condition d'integrabilite deCauchyet 

 de Riemann pour les expressions differentielles. 



4. Definition el propriete de Uinlegrale d'une equation 

 differentielle y' = f{x, y) dans le cas oil f n'est pas tine 

 fonclion continue. L'auleur delink d'abord I'inlegrale d'une 

 pareille equation differentielle- C'esl une fonclion Vx telle 

 que Ton a 



Fx = Fx -t-y'Ax, Fx) dx 



II prouve ensuite que si Y = y, dans Jes theoremes du 

 n° % ou si lim (Y. — y n ) — 0, la fonclion y = <p (x, y ), 

 ou x remplace X du n° 2, est une fonction continue de y . 

 Enlin, il arrive au point culminant de son travail. II 

 demontre, par un calcul sommatoire sur des inegalites £la- 

 blies de proche en proche dans les regions R,, R 2 , R 3 . « tc -> 

 que <p (x, y ) est I'inlegrale de 1 equation donnee y' = 

 f(x, y) t dans le sens elabli plus haul (V). II complete ce 

 theoreme important par quelques propositions dont 1'une 



