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La proposilion particuliere est la suivanle : [/equation 

 y' = y{x)i{y) a pour integrate y = t/ , si <p (ar) est une 

 fonclion inlegrable de x qui s'annule dans lout intervalle, 

 et si yjy) est une fonclion limilee. Ce theoreme prouve 

 qu'il y a reellemenl des equations y' = f (x, y) integrates, 

 bien que f{x,y) soil une fonclion discontinue de x el 

 de#. 



5. Equations simultanees. La seconde parliedu Mernoire 

 est Textension toute nalurelledes calculs et des raisonne- 

 ments de la premiere, au cas de plusieurs variables depen- 

 dantes. II y a lieu d'y signaler toutefois la condition d'inte- 

 grahilite d'une equation d'ordre »; I'etude des equations 

 simultanees ou les fonctions egales aux derivees sont 

 discontinues par rapport a la variable independante; enfin, 

 le theoreme suivant, que I'auleur en deduit : Une equation 

 lineaire est integrable dans tout intervalle ou ses coeffi- 

 cients sont integrates. 



6. Conclusion, Comme on le voit par celte longue 

 analyse, le Mernoire de M. de la Vallee Poussin est une 

 contribution importante au calcul integral. De meme que 

 RiEMANNaeiendu aux fonctions discontinues la notion d'in- 

 legrabilile des expressions differentielles, le jeune auteur 

 est parvenu a etendre celle meme notion aux equations 

 differentielles ou les derivees sont des fonclions discon- 

 tinues des variables, et it I'a fait par une melhode originate. 

 Quantl on parcourt avec lui le chemin qu'il a suivi pour 

 alleindre ce but, on reconnait combien it elait ardu et 

 seme de difficulles. Les demonstrations des propositions 

 (Q)' (S), (T), (V), et le calcul de Y B — y H exigent sans cesse 

 de nouveaux efforts d'invention pour arriver aux resultats 

 cherches. Nous avons verifie minulieusement les calculs 

 et raisonnements de la premiere parlie du Mernoire; 

 partoul, saufen un point que nous indiquerons tantdt, 



