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Wir können uns die Frage stellen, welches ist der Ort der 

 Punkte (x , «/), deren entsprechende Berührungspunkte sich aus dem 

 Doppelpunkte in harmonischen Strahlenbüscheln projiciren? 



Im Allgemeinem sind nur vier Punkte, deren Parameter die 

 Wurzeln einer biquadratischen Gleichung 



«M 4 + 4/3w 3 -f6yw 2 -f4dw-f £ = (4) 



sind harmonisch*), wenn 



« ß y 



ß 7 * 

 y ó s 



= (5) 



ist. Ordnen wir demnach die Gl. (3) nach den Potenzen von w, und 

 vergleichen ihre Coefficienten von u mit denen der Gl. (4), so folgt 



a — dx ß — — — y y — — 



(6) 

 e — ay d = — — x 



und führen wir diese Werthe in die Gleichung (5) ein, so erhalten wir 



A*-kf(x i y) = 0, (7) 



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 wo l=:———ad, f(x,y) — ax 3 -{-dy 3 -{-xyA, als Gleichung des ge- 



u 



suchten Ortes. Wir sehen demnach, dass der Ort der Punkte (x,y), 



deren entsprechende Berührungspunkte harmonische Punktquadruppel 



bilden, eine Curve dritter Ordnung r ist, welche durch die drei In- 



flexionsp unkte der C 4 3 hindurchgeht und aus der Form der Gl. (7) 



sehen wir, dass A = die Gleichung ihrer Verbindungslinie ist. 



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 Für das Descartesche Blatt ist A=z3a und X =. -^-, demnach 



geht die Gl. (8) über in 



x 3 -\-y 3 — 3axy — 2a :s 



Das Descartesche Blatt und dessen r=zO haben somit dieselben 

 Asymptoten. 



r=0 schneidet die G 4 3 in neun Punkten, von denen drei auf 

 der Linie A = liegen, somit liegen die übrigen sechs Schnittpunkte 

 auf einem Kegelschnitte. 



3. Die Wurzeln der Gl. (4) sind Parameter aequianharmonischer 

 Punkte**), wenn 



ae + Sy- = 4ßa (8) 



*) Dr. II. Dun-gc : „Ebene Curven dritter ürdnuDg". 1871. Leipzig Teubner pg. 25. 

 **) Ibid. pg. 25. 



