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als algebraische rationale Funktionen eines Parameters darstellen 

 lassen. 



Für einen solchen Parameter können wir den Halbmesser eines 

 Kreises nehmen, der die Cardioide in ihrem reellen Eückkehrpunkte 

 berührt, demnach mit derselben die Rückkehrtangente zur gemein- 

 schaftlichen Tangente hat. Denn allgemein schneidet ein Kreis die 

 Cardioide in 8 Punkten; nun zählt der Durchgang durch die drei 

 Spitzen für 6 Schnittpunkte, und die Berührung in dem reellen 

 Rückkehrpunkte liefert den 7 . Schnittpunkt, somit erübrigt bloss ein 

 fernerer Schnittpunkt, dessen Lage von der Grösse des Halbmessers 

 abhängt, d. i. ein jeder Punkt der Cardioide wird durch den Halb- 

 messer des erwähnten Kreises eindeutig bestimmt. 



Da nun für Gl. (1) der Rückkehrpunkt der Cardioide der Co- 

 ordinatenanfang und dessen Tangente die Xaxe ist, so lautet die 

 Gleichung des erwähnten Kreises 



«.2 _|_ y i — 2vy. (2) 



Führen wir den Wert für x-^-y" in die Gl. (1) ein, so erhalten 

 wir nach Unterdrückung des gemeinschaftlichen Faktors 4y 



v 2 y — 2avx — a 2 y, 



woraus 2av n . 



y — —3 — v x. (3) 



Setzen wir diesen Wert für y in die Gl. (2) ein, so erhalten 

 wir nach Unterdrückung des gemeinschaftlichen Faktors x 



/ v 2 -\- a" \ 4av 2 



v« ! -av - v 2 — a* ' 

 woraus folgt: 



4av' z (v' 2 ~a 2 ) 



X ~ (v 2 -f a 2 )*~ ' (4) 



und mit Rücksicht auf Gl. (3) 



_ 8aV 



Wir können diese Gleichungen noch vereinfachen, wenn wir statt 



,6) 



setzen ; wir erhalten so als Gleichungen eines Punktes der Cardioide 



_ 4a(l— u l ) 



il-fw 3 ) 2 



Sau 



(l+« a ) s 



