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2. Die Parameter der Schnittpunkte einer Geraden 



in x -f- ny -f- 1 = 

 mit der Cardioide erhalten wir, wenn wir die Werte für x und y 

 aus den Gl. (7) in die Gleichung der Geraden einführen als Wurzeln 

 nachstehender biquadratischen Gleichung: 



w 4 -j- (2 • — 4aw)w 2 -f- Sanu -j- ( 1 — 4am) — 0. (8) 



Zwei der Schnittpunkte bestimmen aber vollständig eine Gerade ; 

 es müssen demnach zwischen den Parametern der vier Schnittpunkte 

 zwei Relationen stattfinden und diese ergeben sich aus der Gleichung 

 (8), wenn wir die übliche Bezeichnung anwenden, 



(tO a + (u) 4 = 3. W 



Die Parameter der unendlich fernen Punkte ergeben sich aus 

 Gl. (7), wenn wir 



setzen, woraus folgt: 



u ~z ± i (10) 



doppelt, d. i. die Kreispunkte sind die unendlich fernen Punkte, 

 Doppelpunkte der Cardioide, welche, wie sich leicht erhärten lässt, 

 Spitzen sind. Die Parameter der unendlich fernen Punkte genügen 

 der Gl. (9), woraus erhellt, dass die unendlich fernen Punkte der 

 Cardioide auf einer Geraden liegen. 



Wenn w 3 =m 4 =m ist, so wird die Gerade zur Tangente im 

 Punkte m und die Gl. (9) gehen über in 



u \ ~\~ l H — — 2<* (11) 



w i w 2 ~T 2« («j -f- w 2 ) + u2 ~\~ UiU 2 u 2 — 3. (12) 



Führen wir statt 2h den Wert aus der Gleichung (11) in die 

 Gl. (12) ein, so erhalten wir 



u L u 2 - 3 (13) 



welche Gleichung uns die Gl. (12) ersetzt, Statt der Gl. (11) und 

 (13) können wir die quadratische Gleichung 



T- -f 2ut -f 3 — 

 setzen, deren Wurzeln die Parameter M t , v 2 der Schnittpunkte der 

 Tangente im Punkte u sind. Lösen wir diese Gleichung nach t auf, 

 so erhalten wir 



t = — ú±V~u* — 3 (14) 



Die Gl. (14) besagt uns, dass die Tangente im Punkte u die 

 Cardioide in zwei weiteren Punkten trifft, die entweder reell odnr 

 imaginär sind, je nachdem 



