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Envellope der Normalen. 



6. Die Anzahl der Normalen bestimmt uns die Classe deren 

 Evolute, somit ist die Evolute der Cardioide eine Curve dritter Classe. 

 Wir erhalten die Gleichung der Evolute, indem wir sie als Ort der 

 Durchschnitte benachbarter Normalen auffassen, wenn wir die Deri- 

 vation der Gleichung der Normalen nach u bilden, nämlich : 



3(1 — u 2 )x -f 6uy = 4a 

 und aus derselben und der GL der Normalen x und y bestimmen. 



Wir erhalten so 



_ 4a(l-f Su 2 ) 



y 



3 (i + n 2 ) 2 



8au' ( l7) 



3(l-f a 2 ) 2 



Die Coordinaten der Evolute sind ausgedrückt als gebrochene 

 rationale Funktionen eines Parameters, vom gleichen Nenner vierten 

 Grades, somit ist die Evolute der Cardioide eine rationale Curve 

 vierten Grades und wie oben bemerkt wurde, dritter Classe. Sie 

 besitzt demnach drei Spitzen, von den zwei, wie aus der Form der 

 Gleichung erhellt, mit den imaginären Kreispunkten zusammenfallen. 

 Wir wollen uns in weitere Discussion dieser Gleichung nicht ein- 

 lassen, da wir zur Gleichung der Evolute ncch auf einem anderen 

 Wege sogleich kommen werden. 



Durchschnitte mit einem Kreise. 



7. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist 

 x °~ + y 2 — 2pa? — %<iy -j- w 2 — 0, 



WO W 2_p2_j_ Q 2_ y2< 



Wir erhalten die Parameter der Schnittpunkte, wenn wir in die 

 Gleichung des Kreises die Werte für x und y aus Gl. (7) einführen ; 

 nach einiger Umformung ergibt sich: 

 m 2 u* -f (2m 2 + Sap) u 2 — lßagu + (16ft 2 — Sap -f m 2 ) — 0. (18) 



Jeder Kreis schneidet die Cardioide in vier Punkten (ausser 

 den gemeinschaftlichen Kreispunkten), deren Parameter die Wurzeln 

 der Gl. (18) sind. Drei Punkte bestimmen die Lage des Kreise3 

 und sollen vier Punkte auf einem Kreise liegen, so muss zwischen 

 den Parametern der Schnittpunkte eine Bedingungsgleichung statt- 

 finden. Dieselbe ergibt sich aus (18); sie lautet: 



(«)l = *i + »2 + % + ** 4 = 0. (19) 



Es ist dies dieselbe Bedingungsgleichung, auf die wir bei der 



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