118 SilzuHij der phijsikaUsch-malheinalischen Klasse 



negativ oder positiv ist, d. li. wenn, wie von jetzt ab geschehen 

 soll, die Coefficienten der höchsten Potenzen von /(j) und f\{x) 

 positiv vorausgesetzt werden, ^je nachdem man aus einem von den 

 beiden Curven y = /('V) , y=/iGO umschlossenen Theile der 

 Ebene herauskommt oder in einen solchen hineingeht." Wird 

 nämlich die Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe 



/(^) , /iCO , M-r) , ..../.,_.(.r) , /. 



für irgend einen Werth von .r mit 9i(x) bezeichnet, so bleibt die 

 Zahl 9i(.r) bei allmählig wachsendem x so lange ungeändert, bis 

 ein "Werth x = ^ erreicht wird, wofür /(^) = ist; denn für eine 

 Stelle, wo 



A(.r) = (A = l,o...,_i) 



ist, haben die beiden benachbarten Functionen /a_i(^) und /t+i(x) 

 entgegengesetzte Zeichen, sodass sowohl vorher als nachher ein und 

 nur ein Zeichenwechsel zwischen /f._i und /n.^, stattfindet, also die 

 Zahl ^1(x) keinerlei Veränderung erleidet. Aber an einer Stelle 

 ,T = ^, wo /(^) = ist, geht ein Zeichenwechsel verloren oder 

 es kommt ein solcher hinzu, je nachdem das Product /(.r) ./i(x) 

 unmittelbar vorher negativ oder positiv war, d. h. je nachdem die 

 Stelle X = ^ als Aus- oder Eintrittsstelle anzusehen ist. Wird 

 also die Anzahl der Aus- und Eintrittsstellen zwischen .t, und x^ 

 resp. mit ^i(xi, Xj) und &(xi^Xj) bezeichnet, so ist: 



91 (xO - 51 Cr,) = ?( (x, , X,) - G (.r. , x,) . 



Nimmt man x, = — oo , Xg = -l- «» und bezeichnet den Grad von 

 /(x) mit 71, den von /^ mit n — iif. und den Coefticienten von 

 x^~"k in /t(x) mit c,;, so erhält man die beiden Reihen 



c , (— 1)"'^, , (— 1)"2C, , ....(— 1)"=^, 



C , '^l J Co , . . . . C;. , 



und ein Zeichenwechsel zwischen dem Afen und (k-hl)ten Gliede 

 in der einen Reihe kann nur dann in der andern verloren gehen, 

 wenn 7»;^ — "i-i ungrade ist. Bedeutet nun '5^(C;tC^_,) die Anzahl 

 der positiven und 9l(cn.r<._,) die Anzahl der negativen Producte 



