rom 17. Fehnutr 1873. 129 



IV. 



Die Aut-diücke von Cayley und Sylvester. 



Sollen für eine ganze Function -F(.r) die Relationen 



wie oben (G) für /\-(.r) bestehen, so muss eine ganze Function 

 'i'(x) vom Grade n^._i existiren, welche für x = ^ mit dem Quo- 



tieuten '^ übereinstimmt, für welche also eine Gleichung 



stattfindet. Hiernach ist AOr) als eine Function von möglichst 

 niedrigem Grade zu charakterisiren, welche den Relationen (G) 

 für p <. ti — nf._i genügt. In Folge derselben ist, wenn 



/^(x) = c^x-"-''A- -f- c\,x''-"k-' H h c("-"A-' 



gesetzt wird : 



für 



h = 71 — «^. , )). — «i + 1 , .... 271 — n^ — »i._, + 2 , 



wo S/, dieselbe Bedeutung hat wie im Art. II (C). Es bestehen 

 also n — 7i^_, — 1 lineare Gleichungen zwischen den n — n^ -{- l 

 Coefficienten C)., und es verschwinden demnach 7i — ni^_i — 1 De- 

 terminanten von je (n — n^. H- l)'- Elementen s. 



Wenn «^ — 7?^._, für alle Indices k gleich Eins und also ii/^ = k 

 ist, so bilden, wie die Gleichungen (G') zeigen, die n Restfunctio- 

 nen /jt(.r) selbst ein System erzeugender Functionen für eine Sturm- 

 sche Reihe und zwar für die Reihe 



die Relationen (G) aber gewähren in diesem Falle die nothwendi- 

 gen und hinreichenden Bestimmungen für die Functionen /k(-^) und 

 ergeben für dieselben sowohl die Cayleyschen als auch die Syl- 



