138 Sitzung der iihijsihuUschvuithcmatlschen Klasse 



setzen, wonacli 



und 



wird. Die Formel (N) geht dabei, wenn darin h ^= / gonninnioti 

 wird, in folgende über 



(N') 2 S Sl Ä,C({)C(i) = (2,. (A, i, A- = 1 , 2, ... »), 



und, falls /,' (.r) =/, (.r) gesetzt wird, in die noch specicUere 



(N") --5,.S',Cl.i.'C:.i.' = 3, (A, .-. -c = 1, 2, ... ,0, 



i * 



auf deren Bedeutung nachher näher eingegangen werden soll. 



Ist die ganze Function fi(.r) so beschaflfen, dass das Product 

 /i(^)ti(^) für al'e reellen Wurzeln ^ der Gleichung /(.r) = einen 

 positiven Werth erhält, so sind die Nullpunkte von /(.r) als Aus- 

 und Eintrittsstellen gleich charakterisirt, sei es dass man die Func- 

 tion /i(.r) oder die Function fi(.r) dabei zu Hilfe nimmt. Die am 

 Schlüsse des Art. I mit 5t und ö bezeichneten Zahlen sind also 

 für beide Functionen /i(x) und fi(.r) dieselben, und die Charakte- 

 ristiken der beiden Functionen-Systenie 



(y . A-^) — 2/ , /i CO — ?/) , (y , /(•'•) — 2/ , ti CO — y) 



haben einen und denselben Werth. Da hiernach in einer den Func- 

 tionen /COjfiCO zugehörigen »S'/wr/nschen Reihe 3i, 3;., ... die 

 Differenz zwischen der Anzahl positiver und negativer Werthe 

 gleich der in einer zu den Functionen f(x) und /, (.r) gehörigen 

 Reihe »S, , »Sj, ... ist, so kann man „im weiteren Sinne des Wor- 

 tes" auch die »Sftirwsche Reihe 3 als den Functionen f(jc) und 

 /i(.r) zugehörig betrachten. In diesem „weiteren Sinne" ist wie- 

 derum, wie oben (Art. II) in der engeren Bedeutung des Wortes, 

 die Gesammtheit der zu f(x) und fx{x) gehörigen »S^MrTnschen Rei- 

 hen erst dadurch zu pracisircn, dass man gewisse Grössen 9t, JK', 

 SH", ... zu Grunde legt und alsdann festsetzt, es sollen sowohl 

 die Coefficienten von /Cr) als auch die aller Functionen f\{x)^ 

 f, (.r) , ... rationale Functionen der Grössen ?K, 5H', Ot", ... mit ganz- 

 zahligen Coefficienten sein. 



