vom 17. Februar 1S73. 139 



Die Voraussetzung, welche hier über die Beziehungen zwi- 

 schen/, (.r) und fi(.r') gemacht worden, ist erfüllt, sobald die obige 

 Gleichung (M) besteht und die Grössen Pg darin sänimtlich posi- 

 tiv sind. Durch die Gleichung (N) findet sich alsdann jedes Glied 

 der Sturm^chen Reihe © als eine homogene lineare Function der 

 Glieder der Reihe S mit wesentlich positiven Coefficienten darge- 

 stellt, und also der Zusammenhang zwischen verschiedenen Sturm- 

 schen Reihen, welche der obigen Ausdrucksweise gemäss im wei- 

 teren Sinne des Wortes zu den Functionen /(x) und /i(.r) gehören, 

 in analoger Weise in Evidenz gesetzt, wie es für die im engeren 

 Sinne zusammengehörigen Sturm^chen Reihen die Hermite-Jacobi- 

 sche Betrachtung (cf. Art. III) ganz unmittelbar ergiebt. 



Die im weiteren Sinne zu /(.lO^/'C^) gehörigen Sturm&c\\en 

 Reihen geben, da alsdann nur Austrittsstellen vorhanden sind, durch 

 die Vorzeichen ihrer Glieder die Anzahl der reellen Wurzeln der 

 Gleichung /(,r) = an und können deshalb fügHch als die zu die- 

 ser Gleichung gehörigen »Siurmschen Reihen bezeichnet werden. 

 Die Reihe .S' ist eine solche, wenn nur die obige Voraussetzung 

 festgehalten wird, dass die Reihe S im weiteren Sinne zu f{x), 

 J\ijc) gehört; denn alsdann ist vermöge der obigen Gleichung 



mit demProducte f,(0/i(^) auch das Product // (^) / (|) für alle 

 reellen Wurzeln c, positiv. Die Formel (N') stellt also jedes Glied 

 irgend einer den Functionen f{x)^f^{x) angehörigen »S^wr/Hschen 

 Reihe als eine bilineare Form der n Glieder einer andern solchen 

 Reihe und der n Glieder einer zu der Gleichung /(,r) = o gehöri- 

 gen Sturms,c\\en Reihe dar und zwar so, dass sämmtliche Coeffi- 

 cienten Quadrate rationaler Functionen der Grössen 9i sind. Durch 

 die Formel (N") endlich findet sich jedes Glied von gewissen 

 .S7ur;nsclien Reihen der Gleichung f(x^ ■■= als eine quadratische 

 Form der 7i Glieder irgend einer beliebigen Stur7nschen Reihe S 

 und zwar mit quadratischen Coefficienten dargestellt. Die drei 

 Formeln (N) erhalten ihre eigentliche Bedeutung in dem Falle, wo 

 die sämmtlichen Glieder der Sturmschcn Reihe S positiv sind, in- 

 sofern alsdann das mit (2/, bezeichnete Glied einer andern Sttirm- 

 schen Reihe als Sunuue von je n^ Quadraten mit positiven Coeffi- 

 cienten dargestellt orsrhoint. Sind aber die Grössen »V säniiutiicli 

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