vom 17. Februar 1873. 141 



Hieraus folgt die Darstellung jener Determinanten -Productu 

 als Summen von je n' Quadraten rationaler Functionen der Grös- 

 sen SR, wenn diese so gewählt sind, dass mindestens eine der 

 *9/MnHSchen Reihen aus lauter positiven Einheiten besteht, und dies 

 ist für irgend eine Gleichung mit reellen Wurzeln z. B. stets in 

 der Weise möglich, dass man den Coefficienten derselben noch die 

 Quadratwurzeln aus den n Gliedern irgend einer Sturm^chen Reihe 

 (als 3t, jR', Ol"...) adjungirt. Bedeutet D {x) die aus reellen Grös- 

 sen Oif. gebildete symmetrische Determinante 



I X S;;. — a;i, \ («/A- = a^,' 1 ?, A" = 1, 2, . . . 7>) . 



so existirt, wie bekannt, eine solche aus positiven Einheiten be- 

 stehende Sturmsche Reihe für die Gleichung D(x) = o, wenn die 

 Grössen 0,7. selbst gleich Dx, Ov', 9i", ... genommen werden. An- 

 drerseits ist aber auch jede Gleichung /(x) = 0, deren Wurzeln ^ 

 sämmtlich reell sind, auf diese Form zu bringen, sobald eben die 

 Glieder einer Sturmschea Reihe sämmtlich gleich Eins sind, d. h. 

 also sobald für irgend eine rationale Function %(x) 



(O) ^g0 (.y, 4- 2/,| + ••• + //,^"-')'-' = :s4 (k^u 2, ....) 



(I) k 



ist, da alsdann die Grössen a;,. durch die Gleichung 



(O') ? ^g(^)(z/. + 2/2 $-+-••• 4- ?/.e"-7' = ^a,,r,c, (iA-=L2...u) 



bestimmt werden und zwar als rationale Functionen der Coefficien- 

 ten von /(x) und der Coefficienten der Substitution, durch welche 

 die Variabein y und z mit einander verbunden sind. Da nun be- 

 kanntlich von Hrn. Borchardt gezeigt worden ist, dass die Deter- 

 minanten J— ^^"'"''1, welche aus den Potenzsummen der Wurzeln 

 jener Gleichung D(.v) = gebildet sind, sich als Summen von 

 Quadraten darstellen lassen*), so lehrt jene Betrachtung, dass eigent- 

 lich schon daraus ein analoges Resultat für beliebige Gleichungen 

 f/(.r) = fA mit reellen Wurzeln gefolgert werden kann, zugleicli 

 geht aber aus eben derselben Betrachtung hervor, dass es dem 

 Wesen der Sache nicht entsprechen würde, die erwähnte Eigen- 

 schaft der Determinanten j^^^+'j als an jene besondere Dofor- 

 niinantenform der Gliiclmng /(x) = geknüpft anzunehmen. 



, l.i.Mivillcs .Inmii.'il IM. XII. 



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