142 Sitzung der phi/sikalisch-mathemalischeu Klasse 



Bei der obigen Forniulirung des in di-r CJlcicliiing (N'") enf- 

 Ijallenen Resultats ersrln-iiit die Eigenschaft der (iK-icIiung /(.r) = O, 

 dass die Glieder einer ilirfr Stunuschen Reihen sich in Form eines 

 Aggregats von Quadraten mit gewissen positiven Coeffu-ientcn dar- 

 stellen lassen, als eine Folge der Eigenschaft, dass alle ihn" Wur- 

 zeln reell sind. Umgekehrt aber lässt sich die Realität der Wur- 

 zeln einer Gleichung aus jener Eigenschaft ihrer .S'/Mr;«schen Rei- 

 hen nicht unbedingt erschliesscn; denn eine Sunmie von Quadraten 

 rationaler Functionen der Grössen 9t kann freilich — auch für 

 specielle Wertho etwaiger Variabein JH — nicht negativ werden, 

 aber die Realität der Wurzeln von /(x) = erfordert gradezu, 

 dass alle Glieder einer Ä^urmschen Reihe positiv seien. Die oben 

 citirte Borchardtsche Darstellung .S'/»r»jscher Functionen für die 

 Gleichung Z)(.r) = kann deshalb nicht ohne Weiteres, wie Sei- 

 tens anderer Autoren geschehen,*) als Beweis für die Realität der 

 Wurzeln aufgefasst werden, hierzu bedürfte es vielmehr noch des 

 Nachweises, dass die einzelnen Quadrate in jener Darstellung niclit 

 sämmtlich gleich Null werden können, wenigstens nicht, so lange 

 die Discriminante der Gleichung von Null verschieden ist. Dieser 

 Nachweis ist, wenn man die Realität der Wurzeln von /(.r) = 

 voraussetzt, leicht daraus abzuleiten, dass alsdann die Ketten- 

 bruchsentwickelung von /'(x):/(x) regulär sein muss. Die Realität 

 der Wurzeln von JJ(x) = folgt aber eben ganz einfach daraus, 

 dass eine ihrer Sturmschen Reihen aus lauter positiven Einheiten 

 besteht,**) und grade diese Sturmsche Reihe bietet sich von selbst 

 dar, wenn man das Problem der Transformation quadratischer 

 Formen behandelt, welches auf jene Gleichung führt. Bei der Be- 

 handlung der bezüglichen Aufgabe war eigentlich mit der Erkennt- 

 niss, dass jede Gleichung auf jene Determinantenform gebracht 

 werden kann,***) das Princip der Ilermite-Jacobischen Methode fast 

 unmittelbar gegeben, und die Borchardfschen Mittheilungen im 53. 



*) Joachimstbal, Grelles Juurnal Bd. 48 pag. 401. Brioschi a. a. O., 

 pag. 271. Serret, Coius d"algt*bre superieure, Paris 18GC, Tome I. pag. 577. 



**} Sachlich stimmt diese Begründung der Realität mit derjenigen über- 

 ein, wehhe Hr. Baltzer in sein Determinanten-Lehrbuch (III. Aufl., p. 190) 

 aufgenommen hat. Die Discriminante der Gleichung wird dabei stets von 

 Null verscliieden vorausgesetzt. 



'"/ Siehe oben die Gleichungen (O) und (O). 



