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V,. Ji - \s I ( 9 = 0, l...Ä-l\ 



--*/,+v ^'j — \ ^p'M' I V, ./ = 0, 1, ... /( ) 



ist. — St'lzt man 



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AI) (»•) o 



(/, ^= 1,2,...//), 



so ist wc'gLii der Relationen (Q) auf Gruiul der Definition der 



flf'^) = ö^'.) (/■,A = l,2...//) 



Grossen ^,j(. 



und also 



> k 



^0 9 *) 



=>A -1 > 



Sa 



«ItN 



• ••• *••.■/,-. 



(p, q =^ 0, 1, ...// — 1 ; j>', (/ =^ 0, 1, ...// ; //, /', k = 1, 2, ... //), 



SO dass das Product der beiden Determinanten auf der linken 

 Seite als eine quadratische Form der n Grössen .S' ausgedrückt 

 erscheint, deren einzelne Coefficienten Quadrate von Determinanten 

 sind. Andrerseits liefert die Gleichung (U') ganz unmittelhar eine 

 Darstellung jeder einzelnen Determinante | s^+,^ | als eine Summe 

 von Producten je zweier Determinanten 



\A^\ \A'lf\ 0/ = 0,1, ...//-!;, -,^ = 1, 2,...//), 



die resp. aus je h' Elementen yl/^. und ^4/- zu bilden sind; und 

 zwar ist für diese Elemente der obere Index ^>, der überhaupt nur 

 h Werthe hat, als der eine Index zu betrachten, während der an- 

 dere durch den Complex der beiden unteren Indices /, k vertreten 

 wird und demgemäss n' Werthe hat, aus welchen je h auszuwäh- 

 len sind. Ersetzt man hierbei die Grössen J,4 durch a\l}.S^, so 

 wird jede einzelne Determinante | s^^^ | als eine homogene Func- 

 tion der 71 Grössen S vom Grade 2h dargestellt, in welcher jeder 

 der Coefficienten eine Summe von Determinantenquadraten ist, ge- 

 bildet aus den Elementen a^'^'. Dies ist jene von Hrn. Borchardt 

 herrührende Deduction, welche derselbe für den Fall 



6'. = ,S,= .... = .S:,. = 1 



in seiner bereits citirten Abhandlung angewendet hat, und die Ele- 

 mente o['j^ sind auch alsdann mit den dort eingeführten Grössen 



