vom 17. Februar 1873. 151 



a^^ vollkommen identisch. Diejenige Eigenschaft derselben, wel 

 che in der Borchardtschen Arbeit den Ausgangspunkt bildet,*) fin- 

 det ihre Analogie in der für alle "Wurzeln ^ geltenden Gleichung 



i^'-§..-^;?i = o (/,^= 1,2, ...«), 



und diese kann ebenso wie (T') aus der Fundamental-Forniel (T) 

 hergeleitet werden. Wird nämlich in (T) auf beiden Seiten nach 

 fallenden Potenzen von y allein entwickelt, so kommt 



- (x'S,, _ A';,!)f,„{x) = /(.r) -^ ^;^\xw (/, n k = 1, 2, ... .), 



A 



wo die Summe rechts auf alle nicht negativen Zahlen p, q zu er- 

 strecken ist, welche zusammen die Zahl r — 1 ergeben. Setzt 

 man hier .r = ^, so resultirt die zu beweisende Gleichung. 



Es ist im Vorstehenden durchweg vorausgesetzt, dass fr,.(x) 

 und /(.r) keinen gemeinsamen Theiler haben. Unter eben dieser 



Voraussetzung kann auch die Kettenbruchsentwickelung von '" "' ^ - 



an Stelle der von zu Grunde gelegt werden. Ist diese Ent- 



wickelung regulär, so bilden die Producte der beiden Coefficienten 

 der höchsten Potenzen von x in je zwei aufeinanderfolgenden Rest- 

 functionen eine <S^«nnsche Reihe. Die Glieder derselben lassen 

 sich ebenso wie die irgend einer andern Sturms,Q\\en Reihe (5, welche 

 aus erzeugenden Functionen %)X^) durch die Gleichung 



^^ e,(^) %,o _ ^_^ 3^ ^. ^. = 1,2, ... „) 



bestimmt sind, als lineare homogene Functionen der n Grössen »S' 

 mit quadratischen Coefficienten darstellen (cf. Art. III). Wenn 

 nämlich für die Functionen J^;i(.r), indem dieselben nach den Func- 

 tionen fri.i^') entwickelt werden, sich die Gleichungen 



5,(.r)= vc,,/,,(.r),9, (/,^-:=l,2,....) 



orgeben, so kommt 



^c,,Cu.S,, = h,,'B, (/,,•,/. =.1,2, ....), 



/> 



und jedes Glied der »SV»/rmsclion Reihe 3 findet sich hiernach als 

 ') Liouville's .Toiiniiil IM. XII. piif,'. (JO stjn- 



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