154 Sitzung der phijaikalisch-malhemat'mcheu Klasse 



iinniittolbar ans fdlgendt'r Bctraclitung hervor: Durch die Oosamnit- 

 hfit der beiden Curven 



y =/W , y = [(•'•) 



wird die Ebene in zwei Theile geschieden, so dass in dem einen 

 das Froduct (W) positiv, in dem andern negativ ist; die x-Axe 

 muss daher die gesaramtc Begrenzung dieser beiden Theile d. h. 

 also die beiden Curven y = /(.r) und // = f(,r) ebenso oft in dem 

 Sinne passiren, dass sie in einen der beiden Theile eintritt als in 

 dem entgegengesetzten Sinne, nämlich so, dass sie aus demselben 

 Theile wieder heraustritt. Es kann nun bei der Definition der zu 

 den Functionen /(,r) , /i(.r) gehörigen »SVurwschen Reihen, wie die- 

 selbe oben im Art. II aufgestellt worden ist, von jeder Voraus- 

 setzung über die Coefficienten der höchsten Potenzen von .r abge- 

 sehen und überdies unbeschadet der Allgemeinheit .angenommen 

 werden, dass beide Functionen von gleichem Grade seien, da z. B. 

 /(x) -f- /i (.r) in der Definition an die Stelle von /i(.r) gesetzt wer- 

 den kann, wenn /i(x) von niedrigerem Grade ist als /(.r). Dies 

 vorau.sgeschickt seien 



'%,s,, s; 



die Glieder irgend einer zu den Functionen 7Jten Grades /(.t) , f(.i) 

 gehörigen .S/«r?HSchen Reihe und es seien ferner 



s[, s: s: 



die Glieder einer zu den Functionen f(.r) , — /(.r) gehörigen Stunn- 

 schen Reihe; endlich seien in der ersten dieser beiden Reihen ''P 

 positive und 'l'i negative, in der zweiten aber "))' positive und ^V 

 negative Glieder. Alsdann i.st wie im Art. II 



%^ — 9t = IH — (y , f — >)r = vr — (V' 



und folglich vermöge der Gleichung (V) 



%) — 51 = sp' — <)r. 

 Da also der Überschuss der Anzahl der positiven über die drr 

 negativen Glieder in den beiden »S'/wr/nschen Reihen S und S' der- 

 selbe ist, so kann jede zu Functionen gleichen Grades /(x) , f(.r) 

 gehörige Sturmnchc Reihe im weitesten Sinne des Wortes zugleich 

 als zu den Functionen f(.r) , — /(x) gehörig betrachtet werden, und 

 die Vertauschung der beiden Functionen, zu denen eine Sturm- 

 sche Reihe gehört, ist also unter der Bedingung gestattet, dass 

 gleichzeitig das Vorzeichen einer der beiden Functionen geändert 

 wird. 



