vom 24. Juli 1873. 579 



Bravais seinen Untersuchungen über die KrystallstruUtur zu 

 Grantle legt, der Forderung gleiehfürniiger Punktvertlieilung ent- 

 sprächen; indessen ist bei jenem Beweise die stillschweigende Vor- 

 aussetzung gemacht, dass zwei von verschiedenen Punkten eines 

 regelmässigen Punktsystems ausgehende nnd je zu ihrer Umgebung 

 übereinstimmend gelegene Richtungen auch parallel sein müssten; 

 und diese Voraussetzung ist keineswegs gerechtfertigt. Vielmehr 

 ergiebt sich, wenn man sie fallen lässt, dass die Raumgitter nur 

 einen äufserst speciellen Fall der überhaupt möglichen regelmässi- 

 gen unbegrenzten Punktsysteme bilden. 



Um den Begriff des regelmässigen Punktsystems schärfer zu 

 formuliren, denke man sich von einem Punkte eines Punktsystems 

 gerade Linien nach allen übrigen Punkten gezogen. Ebenso ver- 

 fahre mau bei jedem anderen Punkte des Systems. Wenn nun 

 diese von allen Systempunkten aus konstruirten Linienbündel unter 

 einander übereinstimmen, indem die Linien jedes Bündels denen 

 jedes anderen einzeln gleich sind und auch dieselben Winkel mit- 

 einander bilden wie jene, so nenne ich das Punktsystem regel- 

 mässig. Man bemerkt, dass jene Übereinstimmung in zw^eifacher 

 Weise möglich ist: entweder so, dass sämmtliche Linienbündel 

 kongruent, oder so, dass sie theils kongruent, tlieils symmetrisch 

 sind. 



Die bisher von mir erst für die Ebene durchgeführte syste- 

 matische Aufsuchung aller überhaupt möglichen regelmässigen 

 Punktsysteme von unbegrenzter Ausdehnung hat LS wesentlich 

 verschiedene Systeme ergeben. Die ersten 10 lassen sich 

 autVassen als aus lauter kongruenten regulären oder halbregulären, 

 getrennt von einander liegenden, Polgyonen gebildet, deren Ecken 

 die Systempunkte tragen. (Hier ist ein Polgyon halbregulär 

 genannt, -wenn es lauter gleiche Winkel, aber nur abwechselnd 

 gleiche Seiten besitzt). 



Zur Beschreibung der gegenseitigen Lage dieser Polygone für 

 jfdes der Systeme sind zwei Angaben erforderlich: 



\. Über die Lage der Polygoncentra, (welche jedoch keine 



Systempunkte tragen). 

 2. Darüber, ob die Polygone unter einander parallel stehn 

 oder irgend wie gegeneinander gedreht (>ind. 



Es zeigt sich, dass die Polygoncentra für sich ebenfalls ein 

 I Ljel massiges System bilden. Um dieses von dem eigentlichen 

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