582 GesannntsitZHug 



flu-ii Slri-ili-ii, i}'n> in glciclifii Alt.stäiuli'ii von cin.'iiKlcr stcliii iiml 

 gU'icliviil (iiiid in dfniscllicn Sinne) gogcn i-inaiiilcr vi r.scliultcn 

 sind. 



Dies System ist als ein rej^elinässiges bereits vini Clir. Wie- 

 ner (Atonieiileliro pag. Sd. iSTiO) anrgefülirt. l'is cnlliiill als einen 

 ganz spcciellen Fall die von iSravais nnlersuclite parailelograni- 

 matisclio Anordiiniig in sicii. 



System XII unterselieidet sieli vom vorigen dadnrrli, dass 

 je zwei ix'tiacliliarte Streilen /n einander synnnelriscli (wie Olijekt 

 nnd Si)iege|l)ild) liegen, statt wie vorher kongrin-nt und I»eliei)ig 

 geg(!n einander verscliolx'n zu .siüii. 



System XIII geht aus System XII dadurch hervor, dass die 

 sämnitliehen Streifen mit gerader Ordnungszahl gegen die ültrigt'u, 

 hei konstant bleibendem Abstände, um eine Strecke gleit-h der 

 halben Entfernung zweier Naehl)ar-Punkte einer (iren/linie vir- 

 schoben "werden. 



Auch die Streifensysteme enthalten zahlreiehe Specialfälle unter 

 sich; und es ist bemerkenswerth, dass manche derselbi-n zu gleicher 

 Zeit Specialfälle der Polygonalsysteme sind. 



Über die Methode, welche zur erschöpfenden Auffindung aller 

 regelmässigen Punktsysteme führt, kann ich hier nur kurze An- 

 deutungen machen. Wenn man sich ein regelmässiges Punktsy- 

 stem gegeben denkt, so betrachte man in demselben drei Punkte, 

 deren gegenseitige Lage folgenden Bedingungen genügt: 1) Eine 

 Seite des durch jene drei Systempnnkte bestimmten Dreiecks muss 

 gleich dem kleinsten, in dem System überhau[)t vorkommenden 

 Punktabstand sein. 2) Unter allen, der ersten Bedingung genü- 

 genden, Dreiecken soll das betrachtete den kleinsten l'nil'ang haben. 

 Es heisse Elementardreieck. 



Die Regelmässigkeit des Systems ftudert nun, dass sich bei 

 jedem Systempunkt als Scheitel jeder der drei Winkel des Ele- 

 mentardreiecks vorfindet, und zwar mit den ihm im Elementar 

 dreieck zukommenden Schenkellängen. Also hat man nur zu er- 

 mitteln, in welchen verschiedenen Weisen dies möglich ist. Un- 

 möglich sind nämlich alle solche Lagen, bei denen drei System- 

 punkte ein Dreieck bestimmen würden, welches die kleinste Punkt 

 distanz enthielte und zugleich kleineren Umfang als das Elemen- 

 tardreieck hätte. — Wie sich durch diese einfache Überlegung 

 sämmtliche regelmässigen Punktanordnungeu ableiten lassen: da 



