vom 30. April 1868. 285 



vierter Ordnung mit einer Doppelcurve zweiter Ord- 

 nung, vor. 



Die Flächen vierter Ordnung mit einer Doppelcurve zwei- 

 ter Ordnung, für welche Hr. Kummer (Monatsber. der Berl. 

 Akad. 16. Juli 1863) die Existenz von 5 doppelt berührenden 

 Kegeln nachgewiesen hat, bieten ein hervorragendes Interesse 

 durch eine Anzahl von Geraden, welche ganz in der Fläche 

 liegen. Die Zahl dieser Geraden ist 16; jede derselben berührt 

 sämmtliche fünf Kegel, jede wird von fünf andern so getroffen, 

 dafs sie mit jeder derselben in einer Tangenten-Ebene eines der 

 Kegel liegt. Die 40 so gebildeten Paare zerfallen in 2.5 Grup- 

 pen zu vier, welche den 2.5 Kegelschnittschaaren angehören, in 

 denen die Tangenten-Ebenen der Kegel die Oberfläche schnei- 

 den. Nennen wir zwei Gruppen conjugirt, welche den beiden 

 Kegelschnittschaaren desselben Kegels angehören, und ebenso 

 diese Schaaren selbst, so werden alle Geraden einer Gruppe 

 von keinem Kegelschnitt der sie enthaltenden Schaar, aber von 

 allen der conjugirten Schaar getroffen. Insbesondere entstehen 

 aus den conjugirten Gruppen 40 windschiefe Vierecke. Zwei 

 conjugirte Gruppen enthalten alle 16 Gerade. 



Die fünf Geraden, welche eine Gerade treffen, schneiden 

 einander nicht. Je drei von ihnen werden aufserdem von einer 

 bestimmten, den fünf nicht angehörigen vierten nicht geschnitten, 

 und bilden mit ihr ein System, welches ich kurz eine Vier 

 nenne. Es giebt 40 Vieren, dieselben gruppiren sich paarweise 

 zu 20 Doppelvieren, so dafs in einer Doppelvier jede Gerade 

 einer Vier drei Gerade der anderen schneidet. Die Doppelvier 

 bildet wieder 10 Paare von Doppelvieren, so dafs jedes Paar 

 von Doppel vieren alle Geraden enthält. Eine Doppel vier ent- 

 hält 12 Paare, nämlich 2 aus jeder von 2.3 der oben erwähn- 

 ten conjugirten Gruppen; die Paare der ergänzenden Doppel- 

 vier gehören denselben Gruppen an, so dafs jedem Paar von 

 Doppelvieren ein Tripel von Paaren conjugirter Gruppen zu- 

 geordnet ist. Man findet die Geraden mit Hülfe einer Gleichung 

 sechszehnten Grades, welche zu ihrer Auflösung nur die Auflösung 

 einer Gleichung fünften Grades und von 4 quadratischen Glei- 

 chungen erfordert, so dafs, wenn ?.,, ?. 2 , X a , X« 4 Wurzeln der 

 Gleichung fünften Grades, und </»(>•) eine gewisse rationale Func- 



