vom 30. April 1888. 287 



jeden Kegelschnitt 2 mal u. s. w. Die Schaar enthält insbeson- 

 dere die 16 Schaaren von Curven dritter Ordnung in Verbin- 

 dung mit der entsprechenden Geraden; sie enthält die Doppel- 

 schaaren von Kegelschnitten, welche aus je 2 Curven conjugirter 

 Kegelschnittschaaren bestehen; sie enthält endlich insbesondere 

 die 40 windschiefen Vierecke. — Durch jeden Punkt der Fläche 

 geht eine einfach unendliche Schaar dieser Curven, welche in dem 

 Punkte einen Doppelpunkt haben, darunter 2 Curven mit Rück- 

 kehrpunkt; und 5, welche in 2 Kegelschnitte zerfallen. Die 

 Tangentenpaare, des Doppelpunktes bilden eine Imolution, deren 

 Doppelstrahlen die beiden Rückkehr-Tangenten sind; unter den 

 Paaren der Imolution befinden sich auch die beiden dreipunktig 

 berührenden Tangenten des Punktes. Nur für die Punkte der 

 16 Geraden fallen die beiden Rückkehr-Tangenten zusammen, 

 und alle Curven der Schaar haben eine Doppelpunkts-Tangente 

 gemeinsam, welches die Gerade selbst hat; die Curven vierter 

 Ordnung zerfallen in die Gerade und eine Curvenschaar dritter 

 Ordnung. Eine Ausnahme machen die 40 Scheitel der Paare. 

 Für sie sind beide Doppelpunkts-Tangenten fest; die Curven- 

 schaar vierter Ordnung zerfällt in die Geraden und eine Schaar 

 von Kegelschnitten, welche beide treffen. 



Die Doppele urve enthält 4 Punkte, deren Tangenten-Ebene 

 zusammenfallen (Rückkehipunkte). Die 4 Tangenten-Ebenen 

 der Punkte gehen durch einen Punkt. Die Nebenecken des 

 aus den Rückkehrpunkten gebildeten Vierecks liegen mit den 

 5 Kegelspitzen in einer Raumcurve dritter Ordnung. Durch die 

 Rückkehrpunkte geht eine einfache auf der Fläche gelegene 

 Schaar von Raumcurven vierter Ordnung und erster Species. 

 Längs jeder dieser Curven wird die Fläche von einer Fläche 

 zweiter Ordnung berührt, und je zwei dieser Curven liegen auf 

 einer Fläche zweiter Ordnung. Zu diesen Curven gehören die 

 Berübrungscurven der Kummer'schen Kegel. — Fünf andere be- 

 merkenswerthe Curven vierter Ordnung und erster Species ent- 

 stehen als geometrischer Ort der Punkte, in welchen Kegelschnitte 

 conjugirter Schaaren einander berühren. Jede dieser Curven 

 enthält die Scheitel von 8 Paaren. 



Nehmen wir 2 der b Berühiungskt j gel und legen an jeden 

 derselben eine Tangenten-Ebene. Die Schnittlinie beider Ebenen 



