vom 18. Mai 1868. 311 



Es sei ap-t-bq irgend einer dieser Factoren, und l der 

 Exponent der höchsten in [P, Q] aufgehenden Potenz desselben. 

 Ferner bedeute 1 ) tt H) den Exponenten der höchsten Potenz 

 von ap -\-bq, durch welche alle aus den Elementen von [P, Q] 

 gebildeten partiellen Determinanten (n — v) ter Ordnung — ho- 

 mogene ganze Functionen (n — *)ten Grades von p, q, die kurz 

 Unter-Determinanten von [P, Q] genannt werden mögen — theil- 

 bar sind. 



Jede Determinante (n — h -f- i) ter Ordnung des Systems 

 (2) kann dargestellt werden als eine Summe, in welcher 

 jedes Glied — abgesehen vom Zeichen — das Product aus 

 einer Determinante (n — *)ter Ordnung und einem Elemente 

 von [P, Q] ist. Ein gemeinschaftlicher Theiler aller Determi- 

 nanten (n — «)ter Ordnung mufs daher auch ein Theiler aller 

 Determinanten der (n — *-f-l)ten Ordnung, und somit über- 

 haupt aller Determinanten von höherer als der (n — «)ten Ord- 

 nung sein. Daraus folgt, dafs, wenn von den Zahlen 7, V 



irgend eine gleich Null ist, alle folgenden es ebenfalls sind. 

 Da ferner die Ableitungen einer Determinante (n — * -hl) ter 

 Ordnung nach p und q sich darstellen lassen als Summen, in 

 denen jedes Glied das Product aus einer Determinante (n — «)ter 

 Ordnung und einem Coefficientcn von P oder Q ist, so mufs 

 Z (K_1) > Z (H) sein, wofern nicht Z (x) =0 ist. Hiernach bestehen, 



wenn in der Reihe der Zahlen 1,1' die letzte der von Null 



verschiedenen den Index (r — l) hat, die Ungleichheiten 



(3) 1->V >/('- 1 )>o. 



Setzt man daher 



(4) e = l- l', e'= l'-l" e ( '- ,) = l (r ~ l) , 



so sind e, e' e (r_1) positive Zahlen, und man hat 



(5) (ap +bq) 1 = (ap -+- bqy(ap -h bq)*'.... (ap -f- kj^V. 

 Jeder einzelne der so definirten r Factoren von 



(ap -f- bq)'- 

 möge ein El emen tar- Theiler der Determinante von pP-t- qQ 

 heifsen — ein Name, dessen Einführung die folgenden Sätze 

 rechtfertigen werden. 



') Die Bezeichnung t'" ist in dem Sinne zu verstehen, dafs Z (0 ) = /, 



i n > = r, j(»i = r 



