vom 18. Mai 1868. 329 



[P, Q] zu ermitteln, wie oft er in allen diesen Producten als 

 Factor enthalten ist. 



Es seien, wenn ap-hbq irgend einer dieser Theiler ist, 



/■! A r diejenigen Werthe von A, für welche a x =a,6 x =6; 



und 



e eC-^ 



die zugehörigen Exponenten e x , jedoch so geordnet, dafs keiner 

 von ihnen gröfser ist als der vorhergehende. 



Wenn nun «J^r ist, so giebt es unter den betrachteten 

 Unter-Determinanten wenigstens eine, in der m x für A = A x . ..A r 

 den Werth 1 hat, und diese enthält den Factor ap-t-bq nicht. 

 Ist aber y <r, so müssen von den Zahlen 7?i x m ? minde- 

 stens £ — y. = § — r -J-(r — k) den Werth Null haben, also 

 auch unter den mit den Indices Aj ?. r versehenen wenig- 

 stens (r — y) solche sich finden. Es ist also jede Unterdeter- 

 minante (n — y) ter Ordnung durch eine Potenz von ap-hbq 

 theilbar, deren Exponent die Summe von (r — y) der Zahlen 



e e^- 1 ) 



also sicher nicht kleiner als 



A e 



(k) 



,r~l) 



ist. Setzt man also 



(72) l = e -+- + &"*} , V = l-e , l" = V - e' 



u. s. w. 



so hat jede Unter-Determinante (n — y) ter Ordnung von [P, Q] 

 den Theiler 



(ap -t-bq) 1 , 



wofern y < r ist. Unter ihnen giebt es aber stets eine, welche 

 nicht durch eine höhere Potenz von ap-\-bq theilbar ist, und 

 welche erhalten wird, wenn man denjenigen y. Zahlen w x , zu 

 deren Indices die Exponenten 



gehören, den Werth Eins, allen übrigen aber den Werth o giebt. 

 Hiernach ist also 



(ap H- bq)' 



