330 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



die höchste Potenz von ap-t-bq. die in [P, Q] und 



(ap + bq) 1 



die höchste, welche in allen Unter -Determinanten (?» — *)ter 

 Ordnung von [P, Q] enthalten ist. 1 ) Hieraus folgt unmittelbar, 



dafs die in dem vorstehenden Ausdrucke von [P, Q] enthalte- 

 nen Factoren 



(a k p + b k q) e >- 



in der That sämmtlich Elementar-Theiler dieserDe- 

 terminante sind. Die aufgeworfene Frage ist also zu be- 

 jahen. 



Um eine Anwendung von dem bewiesenen Satze zu geben, 

 betrachte ich den Fall, wo die Determinante [P, Q] n Elemen- 

 tar-Theiler hat — unter denen jedoch auch gleiche vorkommen 



können — die Exponenten e x e n also sämmtlich gleich 



Eins sind. Dann erhält man den Formeln (44 — 48) zu- 

 folge : 



1 ) Wenn man, von den ursprünglichen Formen P, Q aus- 

 gehend, für einen linearen Theiler ap + bq von [P, Q] die 

 zugehörigen Exponenten e e {r ~ l) in der im Anfange an- 

 gegebenen Weise bestimmt, so erhält man 



e = l — f, e' = l'-l" e [r ~ l) = l {r ~ 1 > . 



Dieselben "Werthe von e e<- r ~ 1) ergeben sich aber, da die 



Reihe der Zahlen 1,1' sich nicht ändert, wenn man 



ap~hbq als einen Theiler von [P, Q] ansieht, auch aus den 

 Gleichungen (72) unter der Voraussetzung, dafs 



e > e' > e {r ' l) 



sei. Man kann daraus schliefsen, dafs in dem Falle, wo r > l 

 ist, 



oder 2 I(-)>Jf— Dj|-iC-+i)^ = ' r ~ $ 



sein mufs. Dies läfst sich mittels der obigen Relationen (27) 

 auch leicht direct nachweisen. 



