vom 18. Mai 1868. 331 



P = o, X 1 F, -f- a 2 X 3 T 3 -f- a n X„F n , 



Q =6,^^ + 6,2:,^ + b n X H Y n1 



Xx = f (/M) — ^~~ ' *■ = r ( "' x) ^ ' 



I* = 2 (« , a) 5- , y$ = 2 (P , A) r x , 



« O «* « Äi 



WO X x , Y x , («,a) , (/3,a)' für X xo , F xo , («,A,o) , (/3,a,o)' ge- 

 schrieben ist. Nach dem Vorstehenden hat aber die Determi- 

 nante der Form 



pP-hqQ = 2(a x p + biq)X x Y x 



die Elementar-Theiler 



a^-t- b x q a n p-i-b n q ; 



es ist daher, wenn P, Q in der angegebenen Gestalt sich sol- 

 len darstellen lassen, nothwendig, dafs die Determinante [P, Q] 

 n Elementar-Theiler besitze. Es ist aber, wenn [P, Q] einen 

 ihrer linearen Theiler in der lten Potenz enthält, und die zu- 

 gehörigen Exponenten e , e' alle gleich Eins sind, V = l — 1, 



l" = l — 2 u. s. w., r = Z, und daher jener Theiler auch 



ein allen Unter-Determinanten (n — Z-f-i)ter Ordnung gemein- 

 schaftlicher. Und da auch umgekehrt ein gemeinschaftlicher 

 linearer Theiler aller dieser Determinanten in [P, Q] mindestens 

 lmal als Factor enthalten ist, so ergiebt sich der Satz: 



Damit es möglich sei, die Formen P, Q durch 



n lineare Functionen X x X n von x x # n , und n 



andere Y x Y n von y 1 y n in der Gestalt 



n^ P"=o t X x Y±+a t X % Y % -*- a n X n Y n 



K } Q = b 1 XiY 1 + o 2 X 9 Y 2 -hb n X n Y n 



auszudrücken, ist nothwendig und hinreichend, dafs 

 jeder lineare Theiler der Determinante [P, Q], wenn 

 er in derselben lmal als Factor enthalten und l >. 1 

 ist, auch ein gemeinschaftlicher Theiler aller Un- 

 ter-Determinanten (n — Z -f- 1) ter Ordnung von [P, Q] 

 sei. 



