vorn 18. Mai 1868. 339 



Hr. Kronecker knüpfte an den vorstehenden Vortrag fol- 

 gende Bemerkungen an: 



Die Ausführungen des Hrn. Weierstrafs geben mir Anlafs 

 zur Mittheilung einer sehr einfachen Behandlungsweise derje- 

 nigen Fälle, in welchen sich zwei quadratische Formen in eine 

 Summe von Quadraten simultan transformiren lassen. Ich be- 

 nutze dabei nur einige der bekanntesten Eigenschaften der qua- 

 dratischen Formen, welche ich der Übersichtlichkeit wegen hier 

 zusammenstellen will: 



1. Wenn eine quadratische Form von n Variabein mit re- 

 ellen Coefficienten den Werth Null erhalten kann, indem die 

 n Variabein durch höchstens (n — l) lineare homogene Relationen 

 mit reellen Coefficienten unter einander verbunden werden, so 

 ist diese Form entweder eine „unbestimmte Form" (forma in- 

 deßnita), oder es verschwindet die Determinante derselben. 



2. Wenn der Coefficient von: x* in der quadratischen Form 



jF(.ri,# 2 > x n) nicht gleich Null ist, so läfst sich von der 



Form F das Quadrat einer linearen Function der Variabein x ab- 

 sondern, so dafs nur eine quadratische Form von x Y , x% , x n _ , 



übrig bleibt; je nach den beiden Fällen läfst sich daher F auf 

 eine der beiden Formen: 



± x'l -f- F' oder x n x' n _ l + F' 



bringen, in denen x' n eine lineare Function von x x ,x 2 , x n , 



aber x' n _ 1 eine lineare Function von Xi,x 2 , x n-i und jF" 



eine quadratische Form derselben (n — l) Variabein bedeutet. Die 

 Coefficienten aller dieser linearen und quadratischen Functionen 

 der Variabein x sind reell, wenn die Coefficienten von F reell 

 sind. 



3. Jede quadratische Form von n Variabein läfst sich als 

 eine Summe von Quadraten linearer Functionen derselben dar- 

 stellen, deren Anzahl nicht gröfser als n ist. 



4. Eine quadratische Form: F(x 1 ,x 2 , x n ), deren De- 

 terminante gleich Null ist, läfst sich als quadratische Form von 

 höchstens (n— l) linearen Functionen der Variabein x darstellen; 

 denn wenn zwischen den n Ableitungen von F eine lineare Glei- 

 chung: c,F, -h c» Fj -+■ -I- o„_, F n _ t = F. n besteht, so 



ist identisch : 



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