340 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



F(x t , x 2 . x n ) = F(*i -h c t x, x n _ , -t- c n , x n , o). 



Wenn nun (p (xj , x 2 , x„) und \|/ (x 2 , x 2 , x n ) qua- 

 dratische Formen mit reellen Coefficienten bedeuten, so bilden 

 die Formen: u>p -f- v-ls für alle verschiedenen reellen Werthe 

 des Verhältnisses u'.v — um einen der Geometrie entlehnten 

 Ausdruck zu gebrauchen — eine Seh aar von quadratischen 

 Formen. Solcher Schaaren giebt es zwei wesentlich verschie- 

 dene Arten. Die erste Art enthält „bestimmte Formen" (for- 

 mae definitae) von n Variabein, deren Determinante von Null 

 verschieden ist; die zweite Art enthält derartige Formen nicht. 

 — Es kann offenbar unbeschadet der Allgemeinheit angenom- 

 men werden, dafs nicht eine und dieselbe lineare Relation zwischen 

 den n Ableitungen beider Formen c/> und -d/ besteht, dafs also 

 die n Ableitungen von (u(p -f- v4-) nicht durch eine lineare Glei- 

 chung mit constanten, d. h. auch von u und v unabhängigen, 

 Coefficienten mit einander verbunden sind; dagegen soll der Fall 

 nicht ausgeschlossen werden, in welchem für die n Ableitungen 

 von (u<p -+- v\l) eine lineare Gleichung existirt, deren Coefficienten 



u 

 von dem variabeln Verhältnisse: — abhängig sind. Dieser be- 



v 



sondere und bisher noch nicht beachtete Fall, in welchem die 

 Determinante von (u(/> +«\|/) identisch Null wird und also die 

 Determinante jeder Form der Schaar verschwindet, soll nach- 

 her im zweiten Theile der vorliegenden Notiz eingehend behan- 

 delt werden. 



I. 



Aus den beiden letzten der oben in Erinnerung gebrachten 



Eigenschaften quadratischer Formen ergiebt sich, dafs, wenn 



die Determinante von (uty ■+- y\I/) für einen complexen Werth 



u 

 des Verhältnisses: — verschwindet, die betreffende Form als eine 

 v 



Summe von (n — i) Quadraten: 



(jfi ■+■ ^i) 5 +■ (jfi -f- »'*«)'-*■ -f- (</„_! -h iz n -xY 



dargestellt werden kann, in denen yi,z t ,y 2 ,z 2 , y n _j,i n _, 



lineare Functionen von x 1? x 2 , x n mit reellen Coefficienten 



6ind. Sämmtliche Formen der Schaar sind hiernach in dem 



