vom i8. Mai 1868. 341 



auf die Werthe k = 1,2, (n — 1) bezuglichen Summen- 

 Ausdrucke: 



enthalten, welcher — wenn man der Kürze halber die Bezeichnung: 



v' . v •+• r v? -f- y 2 



-7 für den Quotienten: einführt — durch den 



u u 



Ausdruck: 



Z(u'y k + v'z k )(v'y k -u'z k ) 



ersetzt werden kann. Hierdurch tritt es in Evidenz, dafs jede 

 Form der Schaar, deren Determinante nicht verschwindet, eine 

 „forma indefinita" ist, wie aus der oben an erster Stelle ange- 

 führten Eigenschaft der quadratischen Formen hervorgeht; und 

 man erhält also das Resultat: 



„Wenn die Determinante von (ucp + t>\//) einen com- 

 plexen Linearfactor hat, so ist die Schaar von der zwei- 

 ten Art; für Schaaren der ersten Art besteht demnach 

 die bezeichnete Determinante aus lauter reellen Linear- 

 factoren." 

 Anstatt der beiden Grundformen <p und \p, deren lineare 

 Verbindung die Schaar constituirt, können irgend zwei beliebige 

 Formen der Schaar als Grundformen derselben gewählt werden. 

 Sobald also für irgend eine Form der Schaar die Determinante 

 gleich Null ist, d. h. sobald die Determinante von (ucp-i-vyL) 

 irgend einen reellen Linearfactor hat, kann man als eine der 

 beiden Grundformen eine solche wählen, welche sich als qua- 

 dratische Form von höchstens (n — l) linearen Functionen der 

 Variabein x darstellen läfst. Bezeichnet man die linearen Func- 

 tionen mit: x\, x' 2 , x' m , die Form selbst mit <p', und wählt 



weitere (n — m) lineare Functionen: x' m+l , , x' n beliebig, aber 



so, dafs die Determinante der n linearen Functionen x' nicht 

 verschwindet, so kann mit Benutzung der zweiten von den oben 

 angeführten Eigenschaften homogener quadratischer Functionen 

 die Schaar (ui/' + wl) auf eine der beiden Formen gebracht 

 werden: 



u'ip' ■+■ v'i ' -f- v'x' n 7 oder «'</>' -+- v'\l ' ■+■ v'x'„._ , x' 7l , 



in denen #', ,x' 3 , x' n homogene lineare Functionen der Va- 

 riabein .c, und </>',!' homogene quadratische Functionen von 



25* 



