342 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



x\, .r'o, *«-.i mit reellen Coefficienten bedeuten. Die Deter- 

 minante des letzteren dieser beiden Ausdrücke enthält den Factor 

 v' zweimal, und die durch diesen Ausdruck dargestellte Schaar 

 ist von der zweiten Art, da jede Form derselben verschwindet, 

 wenn x\. x' 2 x ' n -\ gleich Null gesetzt werden. Für Sehaa- 

 ren der ersten Art so wie für solche Schaaren der zweiten Art, 

 deren Determinante keine gleichen Linearfactoren enthält, kann 

 also nur der erstere dieser beiden Ausdrücke gelten, d. h. unter 

 beiden Voraussetzungen läfst sich die Schaar (u</> -f- r\^) auf 

 die Gestalt: u'cp'-i- v'-Jy' -+- v\v' n * bringen, so dafs: 



u.p-hv-l = w.//'-+-r^"-t- (wr,, — vu n )x' n * 



wird, wenn man unter tp" und -Jy" lineare Verbindungen von 

 cp' und \^' also ebenfalls quadratische Formen von: x',, x' 2 , ... x' n _ x 

 und unter u n , v n gewisse reelle Constanten versteht. "Wenn aber 

 eine der angegebenen Voraussetzungen für die Schaar (uty •+• v\Jy) 

 gilt, so gilt dieselbe auch für die Schaar (ucp" ■+■ v\^"). Da 



nämlich dieselben "Werthe von x\,x\, x' n -\i f" r welche 



etwa eine Form (ucp" -f- v<L") gleich Null wird, unter Hinzu- 

 nahme von: x' n = o genügen, um die Form (ucp •+■ r\|/) zum 

 Verschwinden zu bringen, so mufs (ucp" -h v-J,") eine Schaar 

 der ersten Art sein, wenn (ucp -+- v^) eine solche ist. Ferner 

 kann auch die Determinante von (ucp" -+- v*!/") keinen Factor mehr- 

 fach enthalten, sobald diefs für die Determinante von (u cp -+- v \^) 

 nicht der Fall ist, da beide Determinanten sich nur durch den 

 Linearfactor : (uv n — vu n ) voneinander unterscheiden. Hiernach 

 läfst sich unter jeder von beiden obigen Voraussetzungen das 

 auf die Schaar (u cp -f- t'v^) angewendete Verfahren auch für die 

 Schaar (u<p" -h v*L") benutzen, und man gelangt somit durch wie- 

 derholte Anwendung desselben Verfahrens zu einer Darstellung 

 der Schaar durch eine Summe von Quadraten d. h. zu einer 

 Gleichung: 



« ( /)-f-t'\l/ = (wr, —vu 1 )z't-h(uv i — vu i )zl-j-...-t-(uv n — vu n )zl, 



in welcher Zj,z S) z n homogene lineare reelle Functionen 



der Variabein x bedeuten. Eine solche Darstellung ist also einer- 

 seits stets für solche Schaaren der zweiten Art zulässig, bei 

 denen die Determinante von (uip-i-v^) aus lauter verschiede- 



