vom 18. Mai 1868. 343 



nen reellen Linearfactoren besteht, andererseits aber auch für 

 alle Schaaren der ersten Art; und es ist wohl zu beachten, dafs 

 für diese Schaaren die angegebene Reduction auf eine Summe 

 von Quadraten keinerlei Voraussetzung über die Ungleichheit 

 der Linearfactoren der Determinante nöthig macht. 



Aus den vorstehenden Entwicklungen kann man für beide 

 Arten von Schaaren leicht Ausdrücke herleiten, welche die der 

 Definition nach ihnen zukommende Eigenschaft in Evidenz tre- 

 ten lassen. So braucht man in dem für alle Schaaren der ersten 

 Art geltenden Ausdrucke: 



(uv l —vu 1 )z\ + (uv. i — vu 2 )zl + -+- (uv n — vu n )zl 



unter Ui,v 1} u 2 ,v 2 , u n , v n nur positive reelle Gröfsen 



zu verstehen, da man es durch geeignete Wahl der Grundfor- 

 men: (/', y/ stets bewirken kann, dafs die Gröfsen u k , v k die 

 angegebene Eigenschaft erhalten. Hieraus geht hervor, dafs 

 Schaaren der ersten Art stets unendlich viele „bestimmte 

 Formen" enthalten. Ebenso unmittelbar lassen sich aus jenem 

 Ausdrucke der Schaaren erster Art alle anderen bekannten 

 Eigenschaften derselben ableiten, namentlich das Vorkommen 

 jedes in der Determinante mehrfach enthaltenen Linearfactors 

 in den Unterdeterminanten. 



Zu den Schaaren der zweiten Art gehören jene besonderen, 

 schon oben erwähnten Schaaren (uty -f- u\J>), deren Determinante 

 identisch verschwindet, und für welche nunmehr der allgemeine 

 Ausdruck hergeleitet werden soll. 



IL 



"Wenn man den negativen Werth des Verhältnisses: — mit 



u 



w bezeichnet und ip — w| = / setzt, so ist/ eine quadratische 

 Form von Xi,x 2 , , x nl deren Coefficienten lineare Func- 

 tionen von w sind. Soll die Determinante von / für beliebige 

 Werthe von w verschwinden, so mufs zwischen den n Ableitun- 

 gen von / mindestens eine lineare homogene Relation bestehen, 

 deren Coefficienten ganze Functionen von iv sind. Eine solche 

 Relation, welche in Bezug auf w vom möglichst niedrigen Grade 

 ist, sei nach Potenzen von to geordnet: 



