344 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



wobei f ,/i f m lineare homogene Functionen der n Ab- 

 leitungen von / bedeuten. Die (m ■+- l) Functionen f können 

 durch keine lineare Relation mit constanten, d. h. auch von w 

 unabhängigen Coefficienten unter einander verbunden sein, da, 

 wenn diefs der Fall wäre, schon zwischen m Functionen /' 

 eine lineare homogene Gleichung existiren müfste, deren in 

 Coefficienten alsdann höchstens vom (m — i)sten Grade in Be- 

 zug auf w sein würden. Denn, denkt man sich die nach den 

 n Variabein x genommenen Differentialquotienten jener m Func- 

 tionen /' in n Horizontalreihen von je m Elementen geordnet, 

 so müfsten bei der gemachten Annahme sämmtliche daraus zu 

 bildende Determinanten »2ter Ordnung verschwinden; jene 7/» 

 Coefficienten aber würden Unterdeterminanten (m— i)ster oder 

 noch niedrigerer Ordnung proportional, also in der That höch- 

 stens vom Grade (in — l) in Beziehung auf w sein, da die Ele- 

 mente dieser Unterdeterminanten die Variable w nur linear ent- 

 halten. Die hiermit bewiesene Unabhängigkeit der (m •+■ l) 



Functionen f gestattet die Variabein: *,, x 2 , x n linear so 



in x' ,x'i, x' n _ x zu transformiren, dafs f' ,fi, f m die 



resp. nach ^' 0) a;i, x' m genommenen partiellen Differential- 

 quotienten der transformirten Form von / werden. Diese trans- 

 formirte Form sei /' und: 



/'( x' , x\ , . . . x' n _ , ) = cp'(x'o, x\,... x' n _ , ) - 10 n1/'(x' , «\i ... *i_i) , 



ferner für jeden Index h: 



und also: 



3*i 



1 1 



(<f>' — w^'o) -*- (<P\ — w\l-\)w -f- (t/>' 2 — w4"'i)W 2 -f- 



Aus dieser Gleichung folgen für die ersten Differential- 

 quotienten von <j>' und \L- ' die Relationen: 



«f'o = o , "^m = ° und, wenn < k 5L m ist, tf»' t = ^'k i 5 

 also für die zweiten Differentialquotienten: 



