vom 18. Mai 1868. 345 



für jeden Index h. Da hiernach für jeden Index k innerhalb 

 der angegebenen Grenzen: 



und, wenn auch der Index h auf dieselben Grenzen beschränkt 

 bleibt, 



<Pl;h-l = N^fc— l,A— 1 = >K-1,*-1 = $h,h-l 



wird, so folgt unmittelbar, dafs, wenn beide Indices h und k 

 nicht gröfser als m sind, stets c/'J,. A = sein mufs. Die Func- 

 tionen: (p\, </>' 2 , <p' m dürfen demnach nur lineare Functionen 



von: ä£, + i, , x ' n -i sein, und wenn man noch die Glei- 

 chungen: 



«P'o = , Mn = ° > 4>k = ^*-i 

 berücksichtigt, so erhält man schliefslich für diejenigen Schaa- 

 ren, welche nur Formen mit verschwindenden Determinanten 

 enthalten, den allgemeinen Ausdruck: 



(ux\ -f- vx' )(p\ -f- (ux' 2 -f- vx\)cf>' 2 -+- -f- (ux' m -h c^,_i)^ 



+ u 4> -+- v ¥ , 



in welchem x' , x\, ^_ : lineare Functionen von x x , x 2) #„, 



ferner <t> und ¥ quadratische Formen von: x' m+1 , i x ' n -i 



und endlich tj)\, ip' 2 , cf>' m homogene lineare Functionen der- 

 selben (n — m — l) Variabein bedeuten. 



In dem angegebenen Ausdrucke sind cp\ , </>' 2 , ip' m als 



lineare Functionen der Variabein x vollkommen bestimmt durch 

 die Gleichung, welche zwischen den n Ableitungen der Form / 

 d. h. also der Form (c/> — w\L) vorausgesetzt worden ist. Denn 

 wenn diese Gleichung nach Potenzen von iv geordnet wird, so 

 ergeben die verschiedenen Coefficienten : f , /{ , /^ un- 

 mittelbar jene linearen Functionen c// durch die Relation: 



A +/! w +/a w 2 -#- -+- jfc-i ™*~\ + '/'[-^ fc = ° 



für k = l, 2, ra. Aber die linearen Functionen x' enthalten 



insofern eine gewisse Willkürlichkeit, als diejenigen (n — m — 1), 

 deren Index gröfser als m ist, durch beliebige lineare Functio- 

 nen derselben ersetzt und ebensolche Functionen denjenigen x' 

 hinzugefügt werden können, deren Index nicht gröfser als m 

 ist. Man erhält auf diese Weise: 



(n — m — l) 8 -+- (m -h l) (n — m — i) = n(n — m — l) 



