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so ist bekanntlich, wenn die zu dj gehörende Subdeterminante mit 

 Cij bezeiclinet wird, 



^31 ^11 l ^32 ^12 r ^33 ^13 ^^ • 



Í I ' Bildet man nun unter entsprechender Verwendung der Formel (1) 

 diese Subdeterminanten, so erhält man 



C.o -A,A.Ar ^1 -^2 H- Ci C?2, 

 C,,-A,A,^B,B,^C,C,, 



liriď daher wenn diese "NVerthe nebst den für ř*;; geltendien in die letzte 

 Relation eingesetzt werden, 



(«,«3+^/53+^,^3) {A{- + ^r + c:-) 

 H- («2 «3 + h ßz + r2 y^) (A A + ^i ^2 ~h i^i c^) 



+ («3 «3 -f/53 ^3+^3 ^3) (A ^ +^1 -»3 + C', C3) =0. 



Substituiren wir in diese Gleichung die früher gefundenen Werthe 

 aus den Formeln (11), (12) und (13), so erhalten wir zunächst 



— cos B sin- A — cos A cos c sin A sin B -\- cosb sin C sin ^ r= 



oder wenn durch sin A sin B dividirt und die Formel (15) ent- 

 sprechend berücksichtigt wird, endlich 



sin Acot B -\- cos Acos c :iz sin ccoth, 

 was die dritte Gruudformel der sphärischen Trigonometrie reprä- 

 sentirt. 



"SYie aus dieser Entwickelung zu sehen ist, folgt die zweite 

 Grundgleichung unmittelbar aus den Formeln für die Sinusse der 

 sphärischen Seiten, während die erste, dritte und vierte nur geome- 

 trische Interpretationen eines entsprechend eingekleideten Satzes aus 

 der Detcrmiriantentheorie darstellen. 



Ili-)! ■'■■ 



Zugleich kann man daraus entnehmen, wenn die bei der Ent- 

 wickelung der ersten und vierten Grundformel verwendeten Elemente 

 verglichen werden, dass die beigeordnete Determinante zJ' beim 

 ursprünglichen sphärischen Dreieck dieselbe Rolle spielt, wie die 

 ursprüngliche Determinante z/ bei dem beigeordneten Polardreieck. 



.Vergleicht man endlich die weitläufige, künstlich zusammen- 

 gehaltene Darstellung, wie sie vor 45 Jahren bei Moth nothwendig 

 war, mit der knappen, auf einem Satze basirenden Folgerung, wie sie 

 jetzt hier gegeben wurde, so wird man die Vortheile der seither 

 bedeutend entwickelten Determinantentheorie nicht hoch genug in 



