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Ob ein durch fünf Puncte bestimmter Kegelschnitt eine Hyperbel 

 ist, kann in dem Fall, wo die fünf Puncte auf beide Äste sich ver- 

 theilen, einfach entschieden werden, denn dieser Fall tritt bekanntlich 

 immer dann ein, wenn sich aus den fünf Puncten kein convexes 

 Polygon herstellen lässt. Sobald also eine derartige Anordnung der 

 fünf Puncte stattfindet, muss man, um überflüssige Arbeit zu ersparen, 

 im voraus darüber im Klaren sein, ob die beiden der fünf gegebenen 

 Puncte, durch welche wir K' legen wollen, auf demselben Ast der Hy- 

 perbel liegen. Diese an und für sich nicht uninteressante Frage wollen 

 wir im Nachfolgenden beantworten. Als bekannt können wir also voraus- 

 setzen , dass ein durch zwei Puncte I, H einer Hyperbel K beliebig 

 gelegter Kreis K' nur dann für die Gerade I H als Axe zu K 

 collinear bezogen werden kann, wenn I und H auf demselben Ast 

 von Z" liegen. Sind ausser den Puncten I, l\ noch drei weitere Puncte 

 in, IV, V der Hyperbel gegeben, also K vollkommen bestimmt, so 

 werden nachdem die Collineation hergestellt worden ist, den Puncten 

 III, IV, V drei gewisse Puncte IH', IV', V des Kreises K' collinear 

 entsprechen. Bezüglich der Lage der drei Puncte auf dem Kreise K' 

 können nun [siehe Fig. 3 a) h) c)] folgende Fcälle eintreten : Entweder 

 liegen diese Puncte alle drei auf einer Seite der Axe I II [siehe Fig. 3 

 a) und h)], oder es liegen zwei Puncte auf einer und ein Punct auf 

 der zweiten Seite der Axe I II [siehe Fig. 3 c)\ Schneiden die Seiten 

 des Dreiecks IIP IV V die Axe I II in den Puncten a, /3, 7, so 

 sehen wir, dass in den beiden möglichen Fällen entweder keiner der 

 Puncte a, /3, y innerhalb der Strecke I II liegt oder zwei. Fügen 

 wir noch hinzu, dass die Puncte a, /3, y zugleich die Schnittpuncte 

 der Seiten des Dreiecks III IV V mit der Collineationsaxe I II sind, 

 so ist unsere Aufgabe gelöst. In der That sieht mau auf diese Weise, 

 dass wenn von den drei Punkten a, /3, y einer oder alle innerhalb 

 der Strecke I II liegen, zwis. hen K und K' keine (reelle) Collineation 

 möglich ist, d. h. dass in diesem Falle I und II auf verschiedenen 

 Ästen der Hyperbel liegen. Es werden daher zwei von den gegebenen 

 fünf Puncten, z. B. I, II dann auf einem Ast der Hyperbel liegen, wenn 

 von den Schnittpuncten a, ß^ y der Seiten des Dreiecks III IV V 

 mit der Collineationsaxe I II entweder keiner oder zwei innerhalb 

 der Strecke I II sich befinden. Die Puncte liegen auf verschiedenen 

 Ästen, wenn eine ungerade Anzahl dieser Schnittpuncte innerhalb der 

 Strecke I II liegt, daher entweden einer oder drei. Es liegen daher 

 [siehe Fig. 3 d) und e)] die Puncte I, II auf verschiedenen Ästen 

 der durch die Puncte I, II, III, IV, V bestimmten Hyperbel. Dass 



