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a Sur l’emploi des imaginaires dans la recherche des diffé- 
rentielles d'ordre quelconque; par M. Ph. Gilbert, associé 
de l’Académie. 
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1. Parmi les procédés qui conduisent à expression de 
la différentielle totale d'ordre n d’une fonction de deux 
variables, le suivant, qui nous paraît très-commode, n’a 
guère été mis en usage. Si l’on possède l'expression géné- | 
rale de la dérivée n°** d’une fonction simple de x, et si 
cetle expression subsiste lorsqu’à la variable x on sub- 
stitue une variable imaginaire z = x + y V — 1, il suffira 
de décomposer l'équation imaginaire à laquelle on parvient 
de cette manière, en deux équations réelles, pour obtenir, 
sous une forme parfois assêz remarquable, la différentielle  ? 
totale de l’ordre n de deux fonctions réelles de x et dy. … 
Quelque simple que soit le principe de cette méthode, 
la facilité avec laquelle elle conduit à divers résultats cu- 
rieux, nous engage à en présenter ici quelques applica- ` 
tions. Soit, par exemple, la formule bien connue | 
an à i.: 2. 5. el Sd 
i “ii 
dz” — 
dans laquelle /. désigne le logarithme népérien. Cette for- 
mule subsistant, comme on le voit sans peine,lorsquez p 
. est imaginaire, nous aurons 
i. 2..(n —1 or 
=) (dx + dyV A) al 
K del. erk An it Gs =; 
