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». nombre indéfini. IH donne même divers exemples. de 
» semblables fonctions...... > 
Le mémoire de M. Gilbert se compose de deux parties. 
Dans la première, dit-il : « Nous mettons en relief quel- 
» ques-unes des principales erreurs commises par M. Han- 
» kel, de manière à ne laisser aucun doute sur Vinanité 
» de ses conclusions. » 
_« La seconde partie est encore, sous un autre point de 
» vue, la réfutation des théories de M. Hankel. Repre- 
» nant, sans y rien changer d'essentiel, la méthode ex- 
» posée par M. Lamarle dans son beau mémoire, nous 
» essayons d'établir directement l'existence générale de la 
» dérivée dans toute fonction continue. » 
Après celte indication sommaire des deux problèmes 
traités par M. Gilbert, je passe à l’analyse des parties prin- 
cipales de son important mémoire. 
L 
p (y) représentant une fonction qui, pour toutes les 
valeurs de y comprises entre —1 et +1, sauf pour y—0, 
ait une valeur unique, déterminée , comprise entre — 1 et 
+ 1, et variant d’une manière continue avec y, M. Hankel 
considère la série 
+ ọ (sin nrz) 
1 në 4 
dans laquelle la constante s surpasse 3. La somme de cette 
série toujours convergente étant désignée par f(x), si l'on 
considère -la courbe dont l'équation est z—f(x), cette 
courbe, suivant M. Hankel, est tellement imprégnée de la 
singularité que & (y) présente exclusivement pour y=0, 
