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tions dont il s'agit. En effet, si, pour toutes les valeurs de 
x comprises entre deux quantités À, B, aussi voisines qu'on 
le veut, le rapport {SEO 7% tend vers une limite finie 
et dtemiiée. l'impossibilité des courbes imaginées par 
M. Hankel sera une chose certaine. 
Vas 
Dans cette seconde partie, intitulée : Existence de la 
dérivée dans les fonctions continues d'une seule variable, 
M. Gilbert reprend et simplifie la méthode employée au- 
trefois, par notre éminent confrère M. Lamarle (‘). L'un 
des Prineipami théorèmes à établir peut être énoncé en 
ces termes 
Si, à partir d'une valeur quelconque x de la variable, 
comprise dans l'intervalle (A, B), on donne à cette variable 
Un accroissement h, l'accroissement correspondant de la 
fonction finira, eN GÉNÉRAL, par rester de même signe 
lorsque h tendra indéfiniment vers la limite zéro. 
Pour démontrer cette proposition, M. Gilbert examine 
d'abord si ‚pour une valeur quelconque de x, comprise dans 
l'intervalle considéré, l'accroissement f(x+h)—f(x) peut 
Changer indéfiniment de signe lorsque h tend vers zéro; 
autrement dit : un arc continu, limité à deux points À, B 
aussi voisins qu’on le voudra, coupe-t-il nécessairement, 
une infinité de fois, toute parallèle à Vaxe des abscisses, 
menée par un point quelconque de cet arc? La réponse 
est négative; et, en conséquence : 
€ 1° Sauf pour certaines valeurs isolées et exception- 
C) Étude hrs sur les deux rend … (BULL. DE L'ACAD,- 
{re sér T XXI, De part., 
