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» nelles de la variable x, la différence f(x+h)—f(x) 
» finit, lorsque h tend vers zéro, par garden constamment 
» un même signe; 
» 2 Les fonctions continues qui, pour chaque valeur 
» rationnelle de x, effectuent, suivant l'hypothèse de 
» M. Hankel, une infinité d’oscillations tp iniment pe- 
» tites, sont impossibles. » 
VI. 
Après avoir élucidé cette première partie de la théorie 
des dérivées, ou plutôt a ne existence, M. Gilbert consi- 
dère le rapport à {e+ 5 d x étant une valeur quel- 
conque, intermédiaire entre A et B; et faisant tendre h 
vers zéro, il discute, comme l’a déjà fait M. Lamarle, les 
quatre hypothèses suivantes (”) : 
1° À tend vers zéro; 
2 À croît indéfiniment; 
3 À oscille entre deux quantités constantes, sans tendre 
vers une limite fixe ; 
4 À converge vers une limite déterminée, finie et diffe- 
rente de zéro. 
Par une série de raisonnements très-serrés et même 
très-abstraits, l'honorable auteur prouve que les trois pre- - 
mières sont inadmissibles. Reste donc la quatrième; et, 
en conséquence : 
Si la fonction f(x) est continue depuis x— À jusqu'à 
x=B, le rapport À tend généralement vers une limite dé- 
terminée, finie et différente de zéro, pour des valeurs quel- 
D en Ee E 
(*) Évidemment, ce sont les seules possibles. 
