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LE NAE o , . # . , i 
«La dérivée de y étant indéterminée pour x => 
n? 
DT... 2, il semble, dit M. Catalan, que la fonction- 
SE limite doive présenter l’indétermination de la dérivée 
» pour une infinité de valeurs de x comprises dans le plus 
» petit intervalle, et si d’ailleurs cette fonction-limite est 
» Continue, nous aurons là un fait inconciliable avec la 
» théorie de M. Gilbert. » 
D'une manière générale, il se pourrait qu’il me fût im- 
possible de répondre à une difficulté de cette espèce, sans 
qu'il en résultât aucune présomption contre la théorie 
exposée : car la définition de la fonction choisie comme 
exemple pourrait ne pas se prêter facilement à l'étude de 
ses propriétés. 
Mais au reste, dans le cas actuel, la solution est très- 
Simple et s’est offerte à mon esprit dès le premier instant. 
La fonction-limite existe, elle est parfaitement continue, 
et sa dérivée est finie et déterminée pour toutes les valeurs 
de x depuis x — 0 jusqu'à x = 1. 
En effet, posons 
l 
x) — x sin —. 
g (x) z 
L'équation (1) se mettra sous la forme 
= (x Jk nk | JE (x se 
SP |A jn HA jet 
nin À n In à nin 5 njn 
Or, si Fon divise en n partieségalesla portion de l'axe des x 
comprise entre les absĉisses x — 1 et x, la somme des 
aires des rectangles qui ont pour bases ces divisions + et 
pour hauteurs les ordonnées correspondantes de la courbe 
Y = q(x), sera expFimée par le second membre de l’'équa- 
tion précédente. La limite de cette somme, c'est-à-dire | 
