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l'intégrale de g(x)dx prise entre les limites x —1 chr, Den 
one la fonction -limite que nous cherchons. Désignons 
encore celle-ci par y; il viendra, en are enne > pa r 
sous le signe 
; f: va , 
9 y= zsin— dz; 
(2) : z 
ri 
et comme la fonction sous le signe F est finie, déterminée, 
continue entre les limites de l’ intégration , il est clair que 
la fonction y sera elle-même finie, déterminée, et con- 
tinue par rapport à æ. Quant à sa dérivée, on en 
2 en appliquant à l'équation (2) un théoreme 
connu. On 
! x— |) sin 2 
a o e ) 5E 
Bien loin done que cette dérivée soit généralement m- 
déterminée, elle est rigoureusement finie et déterminée 
pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle 
proposé (0, 1). Ainsi, la fonction choisie par M. Catalan 
confirme le théorème général. À 
On s'explique facilement, au reste, comment il se fait que; 
la courbe (1) présentant une tangente indéterminée pour 
toutes les valeurs de x de la forme x —*, (i entier) la 
courbe (2) n'admet plus aucune tangente indéterminée. 
Si Fon cherche, en effet, l'écart qui existe, pour la première 
courbe, entre les directions-limites des sécantes pour cha- 
cune de ces valeurs de x; en d’autres termes, la différence 
entre la limite des plus grandes valeurs et la limite de 
~ plus petites valeurs du rapport, lassque Ax tend vers 
__ zéro, on trouvera sans difficulté que cette différence est 
